Szerk
P. 5686. Űrhajósok egy a Földről induló \(\displaystyle 3/5\,c\) sebességgel távolodó űrhajóval elindulnak felfedezni a távoli univerzumot. A földi irányítók az indítás után \(\displaystyle T\) idővel a rakomány egy részét egy másik, \(\displaystyle 4/5\,c\) sebességgel haladó rakétával az űrhajó után küldik.
a) Mekkora sebességgel mozog a rakéta az űrhajósok koordináta-rendszerében?
b) Mennyi idő telik el a rakományt szállító rakéta elindulása és megérkezése között a földi irányítók, illetve az űrhajósok vonatkoztatási rendszerében?
A rakéta és az űrhajó gyorsításához szükséges idő elhanyagolható \(\displaystyle T\) mellett.
(5 pont)
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
Megoldás. a) Legyen az űrhajó Földhöz viszonyított sebessége \(\displaystyle v_1=\tfrac{3}{5}c\), a rakétáé \(\displaystyle v_2=\tfrac{4}{5}c\). A rakéta űrhajóhoz viszonyított sebességét a relativisztikus sebesség-összeadó (sebesség-transzformáló) képlettel határozhatjuk meg:
\(\displaystyle v_2'=\frac{v_2-v_1}{1-\frac{v_2v_1}{c^2}}=\frac{5}{13}c. \)
b) A Földhöz rögzített vonatkozási rendszerben jelölje \(\displaystyle t\) a rakéta útjának idejét, eközben \(\displaystyle s\) utat tesz meg. Az űrhajó ugyanezt az utat \(\displaystyle T+t\) idő alatt teszi meg, tehát:
\(\displaystyle s=v_2t=v_1(T+t), \)
amiből
\(\displaystyle t=\frac{v_1}{v_2-v_1}T=3T. \)
Az űrhajósok vonatkoztatási rendszerében a tőlük \(\displaystyle v_1\) sebességgel távolodó Földön eltelt \(\displaystyle T\) idő az idődilatáció miatt hosszabbnak tűnik:
\(\displaystyle T'=\frac{T}{\sqrt{1-\left(\frac{v_1}{c}\right)^2}}=\frac{5}{4}T. \)
Ezalatt a Földtől
\(\displaystyle s'=v_1T'=\frac{3}{4}cT \)
távolságra jutnak. Ez alapján a rakéta mozgási ideje az űrhajó rendszeréből:
\(\displaystyle t'=\frac{s'}{v_2'}=\frac{39}{20}T. \)
Monori Bence (Budapest, Bethlen Gábor Technikum, 12. évf.)
Megjegyzés. Eredményünk ellenőrzésére lehetőséget ad a következő gondolatmenet: Az űrhajó indulása és a rakéta érkezése (az űrhajó vonatkoztatási rendszerében a Föld ,,indulása'' és a rakéta érkezése) az űrhajó rendszerében ugyanott (az űrhajónál) történik, tehát a két esemény közötti \(\displaystyle T'+t'\) sajátidőre érvényes:
\(\displaystyle \frac{T'+t'}{\sqrt{1-\left(\frac{v_1}{c}\right)^2}}=T+t. \)
Adatainkat behelyettesítve láthatjuk, hogy ez valóban teljesül. Fontos megjegyezni, hogy ez az összefüggés nem áll fenn külön-külön a \(\displaystyle T'\) és \(\displaystyle T\), illetve a \(\displaystyle t'\) és \(\displaystyle t\) viszonyában, mert a két időtartamot elválasztó esemény, a rakéta indítása máshol történik az űrhajó rendszerében, mint az összeg két végpontját adó események.
32 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (2–3 pont) 13, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
