Szerk
P. 5660. Egy pontszerűnek tekinthető, \(\displaystyle m\) tömegű, átfúrt golyó az ábra szerint egy \(\displaystyle R\) sugarú, vízszintes átmérőjű, függőleges síkú, félkör alakú, rögzített, merev drótra van fűzve, amelyen súrlódásmentesen csúszhat. A golyóhoz egy vékony fonál van kötve, amely a drót \(\displaystyle C\) végén lévő, kicsiny csigán van átvetve. A fonál másik végéhez egy ugyancsak \(\displaystyle m\) tömegű nehezék van erősítve. A bal oldali golyót a fonál vízszintes helyzetéből lökésmentesen elengedjük, amikor a fonál \(\displaystyle \alpha=0^\circ\)-os szöget zár be a vízszintes átmérővel.
a) Mekkora sebességgel mozognak a testek, amikor a bal oldali test a drótpálya legalsó pontján halad át?
b) Mekkora a testek gyorsulása ebben a pillanatban?
(6 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
Megoldás. a) A dróton mozgó golyó adatait jelölje 1-es, a fonálon függő testét 2-es index. A mechanikai energia megmaradását felírva a kezdeti és a vizsgált állapot között:
\(\displaystyle mgR+mg(2-\sqrt{2})R=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2. \)
A kényszerfeltétel (a fonál nyújthatatlansága miatt) a vizsgált pillanatban:
\(\displaystyle v_2=\frac{v_1}{\sqrt{2}}, \)
ezt beírva az energiaegyenletbe és rendezve:
b) A testre ható erők az ábrán láthatók.
A 2-es test mozgásegyenlete:
Ha az 1-es test mozgását az \(\displaystyle O\) pont körül vizsgáljuk (amelytől a távolsága időben nem változik), akkor a centripetális gyorsulása:
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp},O}=\frac{v_1^2}{R}. \)
Az erre felírt mozgásegyenlet:
Ha a test mozgását a \(\displaystyle C\) ponthoz viszonyítva nézzük, akkor a \(\displaystyle C\) pont irányába egyrészt (a fonál nyújthatatlansága miatt) \(\displaystyle a_2\) gyorsulással mozog, másrészt a fonál elfordulása miatt centripetális gyorsulása is van:
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp},C}=\frac{\left(\frac{v_1}{\sqrt{2}}\right)^2}{\sqrt{2}R}=\frac{v_1^2}{2\sqrt{2}R}. \)
Ezt felhasználva a mozgásegyenlet:
Az (1) egyenletet beírva (3)-ba, majd abból (2) \(\displaystyle \sqrt{2}\)-ed részét kivonva, és rendezve:
\(\displaystyle K=\frac{2}{3}mg-\frac{mv_1^2}{3\sqrt{2}R}, \)
majd az a) részből \(\displaystyle v_1\) kifejezését behelyettesítve:
\(\displaystyle K=\frac{10-6\sqrt{2}}{9}mg. \)
Az 1-es test gyorsulásának két komponense van. A tangenciális gyorsulás a mozgásegyenlet alapján:
\(\displaystyle a_{\mathrm{t}}=\frac{K}{\sqrt{2}m}=\frac{5\sqrt{2}-6}{9}g\approx 0{,}119~g, \)
a centripetális gyorsulása pedig
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp},O}=\frac{v_1^2}{R}=\frac{4(3-\sqrt{2})}{3}g\approx 2{,}11~g. \)
Ezekből az 1-es test keresett gyorsulása:
\(\displaystyle a_1=\sqrt{a_{\mathrm{t}}^2+a_{\mathrm{cp},O}^2}\approx 2{,}12~g. \)
A 2-es test gyorsulása pedig (1) alapján:
\(\displaystyle a_2=g-\frac{K}{m}=\frac{6\sqrt{2}-1}{9}g\approx 0{,}832~g. \)
Ujvári Sarolta (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
15 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Hiányos (1–4 pont) 11, hibás 1 dolgozat.
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
