Szerk
P. 5670. Két, egymást merőlegesen keresztező úton egy-egy motoros halad. Az egyik sebessége \(\displaystyle v_1\), a másiké \(\displaystyle v_2\), és az egymástól való legkisebb távolságuk \(\displaystyle d_0\). Milyen távolságra vannak ekkor a kereszteződéstől?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
(5 pont)
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
I. megoldás. A két motoros távolsága akkor lesz minimális, amikor az 1-es motoroshoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a 2-es motoros sebességvektorának nincsen a két motorost összekötő egyenes irányába mutató komponense. Az 1. ábrán a motorosok a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben láthatók.
\(\displaystyle d_0^2=d_1^2+d_2^2. \)
A 2. ábrán az 1-es motoroshoz rögzített koordináta-rendszerben ábrázoltuk a mozgást. Az 1-es motorostól a 2-eshez mutató helyvektor:
\(\displaystyle \boldsymbol{d}_0=(d_1,\,d_2), \)
a 2-es motoros relatív sebessége:
\(\displaystyle \boldsymbol{v}_2'=(-v_1,\,v_2). \)
Minimális távolság esetén a két vektor merőleges:
Ezt behelyettesítve \(\displaystyle d_0\) kifejezésébe és rendezve:
Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory I. Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 12. évf.)
II. megoldás. Amikor a két motoros között minimális a távolság (\(\displaystyle t_0\) időpont), akkor az egyik motoros közeledik a kereszteződéshez, a másik pedig távolodik a kereszteződéstől. (Ha mindketten közelednének vagy távolodnának, akkor nem lehetne minimális a távolság. ) Legyen ekkor az egyik motoros távolsága a kereszteződéstől \(\displaystyle d_1\), és tegyük fel, hogy ő távolodik \(\displaystyle v_1\) sebességgel, a másik motoros távolsága pedig \(\displaystyle d_2\), és tegyük fel, hogy ő közeledik a kereszteződéshez \(\displaystyle v_2\) sebességgel. Ekkor a Pitagorasz-tételből:
Ugyanígy a \(\displaystyle t_0-\Delta t\) időpontban:
és a \(\displaystyle t_0+\Delta t\) időpillanatban:
A \(\displaystyle t_0\) pillanatban akkor minimális a távolság, ha
azaz
bármely kicsiny \(\displaystyle \Delta t\geq 0\) érték esetén.
Ha \(\displaystyle \Delta t\) értékét egyre kisebbre választjuk, akkor a \(\displaystyle (\Delta t)^2\)-es tagok elhanyagolhatókká válnak az elsőfokú tagok mellett, és a (2) feltétel csak akkor teljesül, ha
\(\displaystyle 2d_1v_1\Delta t-2d_2v_2\Delta t=0. \)
Ebből:
amit (1)-be behelyettesítve:
\(\displaystyle d_1^2+d_1^2\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=d_0^2. \)
Ezt megoldva, majd (3)-at használva a keresett távolságok:
Az eredmény nem függ attól, hogy a két motoros közül melyik közeledik, illetve melyik távolodik.
Kossár Benedek Balázs (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)
46 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 24, hiányos (1–3 pont) 9, hibás 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
