A P. 5674. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.

Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?

(5 pont)

Példatári feladat nyomán

I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.

1. ábra

1. eset: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) (a test melegebb, 1. ábra).

A pillanatnyi hatásfok:

\(\displaystyle \eta(T)=1-\frac{T_0}{T}. \)

A test által leadott kicsiny hőmennyiség \(\displaystyle \mathrm{d}Q=-C\mathrm{d}T\), így az eközben végzett elemi munka:

\(\displaystyle \mathrm{d}W=\eta\mathrm{d}Q=-C\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T. \)

Ezt integrálva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:

\(\displaystyle W_1=-C\int\limits_{T_0+\Delta T}^{T_0}\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)

2. ábra

2. eset: \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\) (a test hidegebb, 2. ábra).

Ekkor a hőtartály a meleg oldal (\(\displaystyle T_0\) hőmérsékleten) és a test a hideg (\(\displaystyle T\), változó hőmérsékleten). Reverzibilis folyamat esetén:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q'}{\mathrm{d}Q}=\frac{T_0}{T}, \)

ahol \(\displaystyle \mathrm{d}Q'\) a hőtartály által leadott, \(\displaystyle \mathrm{d}Q=C\mathrm{d}T\) pedig a test által felvett kicsiny hőmennyiség. A kettő különbsége az elemi munkavégzés:

\(\displaystyle \mathrm{d}W=\mathrm{d}Q'-\mathrm{d}Q=C\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T. \)

Ezt integrálva \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:

\(\displaystyle W_2=C\int\limits_{T_0-\Delta T}^{T_0}\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(-\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1-\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)

Összehasonlítás: Vezessük be az \(\displaystyle \varepsilon=\tfrac{\Delta T}{T_0}\) jelölést. Ekkor a két munka különbsége:

\(\displaystyle W_2-W_1=CT_0\left(\ln\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}-2\varepsilon\right)=2CT_0(\mathrm{artanh}\,\varepsilon-\varepsilon). \)

Mivel \(\displaystyle \mathrm{artanh}\,\varepsilon=\varepsilon+\tfrac{\varepsilon^3}{3}+\dots>\varepsilon\), ezért \(\displaystyle W_2>W_1\). Tehát több munka nyerhető a második esetben, amikor a test kezdetben hidegebb (\(\displaystyle T=T_0-\Delta T\)).

Megjegyzés. \(\displaystyle \Delta T\ll T_0\) esetén a közelítő alakok:

így a különbség csak a harmadrendű tagtól kezdve jelentkezik.

Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)

II. megoldás. Az összehasonlítás az integrálok kiszámítása nélkül is elvégezhető. Az integrálást mindkét esetben egy \(\displaystyle \Delta T\) hosszúságú intervallumon kellene végezzük: az egyik esetben \(\displaystyle T_0\)-ról indulva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-ig, a másik esetben \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-ről indulva \(\displaystyle T_0\)-ig (3. ábra).

3. ábra

Hasonlítsuk össze a két integrandust! Az első esetben

\(\displaystyle T_0\leq T\leq T_0+\Delta T\quad\Rightarrow\quad T=T_0+\delta T, \)

míg a második esetben

\(\displaystyle T_0-\Delta T\leq T\leq T_0\quad\Rightarrow\quad T=T_0-\delta T, \)

ahol \(\displaystyle 0\leq\delta T\leq\Delta T\). Ez alapján (a \(\displaystyle C\) konstanst mindkét esetben elhagyva):

\(\displaystyle 1-\frac{T_0}{T}=1-\frac{T_0}{T_0+\delta T}=\frac{\delta T}{T_0+\delta T}\leq\frac{\delta T}{T_0-\delta T}=\frac{T_0}{T_0-\delta T}-1=\frac{T_0}{T}-1, \)

azaz a második esetben az integrandus mindig nagyobb (az intervallum szélén pedig egyenlő). Tehát – az I. megoldásban szereplő érveléssel összhangban – a második esetben nyerhető több munka.

17 dolgozat érkezett. Helyes 5 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–3 pont) 6, hibás 3 dolgozat.