Szerk
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
(5 pont)
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
1. ábra
1. eset: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) (a test melegebb, 1. ábra).
A pillanatnyi hatásfok:
\(\displaystyle \eta(T)=1-\frac{T_0}{T}. \)
A test által leadott kicsiny hőmennyiség \(\displaystyle \mathrm{d}Q=-C\mathrm{d}T\), így az eközben végzett elemi munka:
\(\displaystyle \mathrm{d}W=\eta\mathrm{d}Q=-C\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T. \)
Ezt integrálva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:
\(\displaystyle W_1=-C\int\limits_{T_0+\Delta T}^{T_0}\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)
2. ábra
2. eset: \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\) (a test hidegebb, 2. ábra).
Ekkor a hőtartály a meleg oldal (\(\displaystyle T_0\) hőmérsékleten) és a test a hideg (\(\displaystyle T\), változó hőmérsékleten). Reverzibilis folyamat esetén:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q'}{\mathrm{d}Q}=\frac{T_0}{T}, \)
ahol \(\displaystyle \mathrm{d}Q'\) a hőtartály által leadott, \(\displaystyle \mathrm{d}Q=C\mathrm{d}T\) pedig a test által felvett kicsiny hőmennyiség. A kettő különbsége az elemi munkavégzés:
\(\displaystyle \mathrm{d}W=\mathrm{d}Q'-\mathrm{d}Q=C\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T. \)
Ezt integrálva \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:
\(\displaystyle W_2=C\int\limits_{T_0-\Delta T}^{T_0}\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(-\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1-\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)
Összehasonlítás: Vezessük be az \(\displaystyle \varepsilon=\tfrac{\Delta T}{T_0}\) jelölést. Ekkor a két munka különbsége:
\(\displaystyle W_2-W_1=CT_0\left(\ln\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}-2\varepsilon\right)=2CT_0(\mathrm{artanh}\,\varepsilon-\varepsilon). \)
Mivel \(\displaystyle \mathrm{artanh}\,\varepsilon=\varepsilon+\tfrac{\varepsilon^3}{3}+\dots>\varepsilon\), ezért \(\displaystyle W_2>W_1\). Tehát több munka nyerhető a második esetben, amikor a test kezdetben hidegebb (\(\displaystyle T=T_0-\Delta T\)).
Megjegyzés. \(\displaystyle \Delta T\ll T_0\) esetén a közelítő alakok:
így a különbség csak a harmadrendű tagtól kezdve jelentkezik.
Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. Az összehasonlítás az integrálok kiszámítása nélkül is elvégezhető. Az integrálást mindkét esetben egy \(\displaystyle \Delta T\) hosszúságú intervallumon kellene végezzük: az egyik esetben \(\displaystyle T_0\)-ról indulva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-ig, a másik esetben \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-ről indulva \(\displaystyle T_0\)-ig (3. ábra).
3. ábra
Hasonlítsuk össze a két integrandust! Az első esetben
\(\displaystyle T_0\leq T\leq T_0+\Delta T\quad\Rightarrow\quad T=T_0+\delta T, \)
míg a második esetben
\(\displaystyle T_0-\Delta T\leq T\leq T_0\quad\Rightarrow\quad T=T_0-\delta T, \)
ahol \(\displaystyle 0\leq\delta T\leq\Delta T\). Ez alapján (a \(\displaystyle C\) konstanst mindkét esetben elhagyva):
\(\displaystyle 1-\frac{T_0}{T}=1-\frac{T_0}{T_0+\delta T}=\frac{\delta T}{T_0+\delta T}\leq\frac{\delta T}{T_0-\delta T}=\frac{T_0}{T_0-\delta T}-1=\frac{T_0}{T}-1, \)
azaz a második esetben az integrandus mindig nagyobb (az intervallum szélén pedig egyenlő). Tehát – az I. megoldásban szereplő érveléssel összhangban – a második esetben nyerhető több munka.
17 dolgozat érkezett. Helyes 5 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–3 pont) 6, hibás 3 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
