Szerk
P. 5684. Egyenletes vastagságú drótból az ábrán látható keretet készítjük el. Számítsuk ki az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), valamint az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti eredő ellenállások arányát!
(5 pont)
Közli: Cserti József, Budapest
I. megoldás. Az egyenletes vastagság miatt a drótok ellenállása arányos a hosszúságukkal. Legyen a kis négyzetek egy-egy oldalának ellenállása \(\displaystyle R\). Az áttekinthetőség kedvéért az 1. ábrán látható módon további csúcsokat is megjelölünk.
1. ábra
1. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti ellenállás meghatározása.
Rajzoljuk át a kapcsolást áttekinthetőbb formába (2. ábra).
2. ábra
A felső ág középső részének eredő ellenállása:
Ezt felhasználva a 2. ábra egyszerűsíthető. A 3. ábrán (a szimmetriát kihasználva) berajzoljuk az egyes ágak áramát is.
3. ábra
A Kirchhoff-féle csomóponti törvény az \(\displaystyle A\) pontra:
A Kirchhoff-féle huroktörvény az \(\displaystyle ADE\) és a \(\displaystyle DGFE\) hurkokra:
Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva:
\(\displaystyle I_1=\frac{3}{8}I,\quad I_2=\frac{5}{8}I,\quad I_3=\frac{1}{8}I. \)
A potenciálkülönbség \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) között:
\(\displaystyle U_{AB}=RI_2+R(I_2+I_3)+RI_2=3RI_2+RI_3=\frac{15}{8}RI+\frac{1}{8}RI=2RI, \)
és ebből az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{AB}=\frac{U_{AB}}{I}=2R. \)
2. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti ellenállás meghatározása.
Az áramkör átrajzolása a 4. ábrán látható. A szimmetria miatt a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), illetve az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle H\) pontok ekvipotenciálisak, így a \(\displaystyle DE\) és az \(\displaystyle IH\) ágakon (az ábrán halványan rajzolva) nem folyik áram, azok elhagyhatók.
4. ábra
Az áramkör soros és párhuzamos kapcsolásokból áll, eredő ellenállása könnyen meghatározható:
\(\displaystyle R_{AC}=\frac{1}{2}\left(R+R+\frac{1}{2}\cdot 2R+R+R\right)=\frac{5}{2}R=2{,}5R. \)
3. A két eredő ellenállás aránya:
\(\displaystyle \frac{R_{AB}}{R_{AC}}=\frac{2R}{2{,}5R}=\frac{4}{5}=0{,}8. \)
Ferencz Kevin (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 11. évf.)
II. megoldás. Az \(\displaystyle R_{AB}\) ellenállás meghatározásánál a nehézséget a 2. ábrán látható \(\displaystyle ADE\) és \(\displaystyle BGF\) ellenállás-háromszögek jelentik. Ezeket delta–csillag átalakítással szüntethetjük meg. Az átalakítás az 5. ábrán látható, a csillagkapcsolás ellenállásértékeit a Függvénytáblázatban található képletekkel határoztuk meg:
5. ábra
Ezt az átalakítást, valamint az (1) összefüggést felhasználva a kapcsolás a 6. ábrán látható módon rajzolható át. (A \(\displaystyle BGF\) háromszög a szimmetria miatt ugyanúgy alakítható át, mint az \(\displaystyle ADE\).)
6. ábra
Ezután az eredő ellenállás már könnyen meghatározható:
A megoldás többi része megegyezik az I. megoldással.
32 dolgozat érkezett. Helyes 12 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 9, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
