Az M. 444. mérési feladat megoldása

Szerk

M. 444. Határozzuk meg egy AA-s ceruzaelem szimmetriatengelyére és egy arra merőleges, a tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékait!

(6 pont)

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

Megoldás. Az elem tömege (konyhai mérleggel mérve): \(\displaystyle m=24~\mathrm{g}\), hossza \(\displaystyle L=48~\mathrm{mm}\), átmérője (digitális tolómérővel mérve): \(\displaystyle d=14{,}2~\mathrm{mm}\), amiből a sugara: \(\displaystyle {r=d/2=7{,}1~\mathrm{mm}}\). A mérés során a szimmetriatengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\parallel\), illetve az arra merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomatékot egy-egy egymástól eltérő módszerrel mérjük meg.

Az első esetben (\(\displaystyle \Theta_\parallel\)) azt mértük, mennyi idő alatt gördül le megcsúszás nélkül egy lejtőn az elem. A testre ható erők és a számításban használt mennyiségek az 1. ábrán láthatók.

1. ábra

A mozgásegyenletek és a kényszerfeltételek:

Az egyenletrendszerből kifejezzük a tehetetlenségi nyomatékot:

\(\displaystyle \Theta_\parallel=\frac{mgr^2\sin\alpha}{a}-mr^2, \)

ahol az \(\displaystyle a\) gyorsulást az \(\displaystyle x\) hosszúságú lejtőn való legurulás \(\displaystyle t\) idejének mérésével kaphatjuk meg:

\(\displaystyle a=\frac{2x}{t^2}. \)

Ezt behelyettesítve:

Az egyenletrendszerből \(\displaystyle S\) is kifejezhető:

\(\displaystyle S=\frac{mg\sin\alpha}{1+\frac{\Theta_\parallel}{mr^2}}, \)

amit az egyenlőtlenségbe behelyettesítve és rendezve a megcsúszás nélküli gördülés feltétele:

2. ábra

A mérési elrendezés a 2. ábrán látható. A két láb távolsága \(\displaystyle \ell=1017~\mathrm{mm}\). Először az asztal egyik lábát addig emeltem, amíg a lejtéssel párhuzamos tengellyel ráhelyezett elem meg nem csúszott. Ez akkor következett be, amikor \(\displaystyle h_\mathrm{m}=245~\mathrm{mm}\), amiből \(\displaystyle \alpha_\mathrm{m}=\arcsin\tfrac{h_\mathrm{m}}{\ell}\approx 14^\circ\) és \(\displaystyle \mu=\tg\alpha_\mathrm{m}\approx 0{,}25\). A (2) összefüggés alapján az elem akkor gördül le csúszásmentesen, ha

\(\displaystyle \alpha\leq\arctg\left(\left(1+\frac{mr^2}{\Theta_\parallel}\right)\mu\right)\approx\arctg 3\mu\approx 37^\circ, \)

ahol felhasználtuk a \(\displaystyle \tfrac{mr^2}{\Theta_\parallel}\approx 2\) becslést a homogén henger ismert tehetetlenségi nyomatéka alapján.

Az 1. táblázatban a mérési eredmények láthatók az asztal különböző döntése esetén (a legnagyobb szög is jóval kisebb, mint az előbb meghatározott határszög). Minden esetben \(\displaystyle x=1~\mathrm{m}\) és minden dőlésszögnél 5 mérést végeztünk.

1. táblázat

Az (1) kifejezést átrendezve:

\(\displaystyle t^2=\frac{2x(\Theta_\parallel+mr^2)}{mgr^2}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}=k\cdot\frac{1}{\sin\alpha}, \)

azaz ha \(\displaystyle t^2\)-et \(\displaystyle \tfrac{1}{\sin\alpha}\) függvényében ábrázoljuk, akkor a pontokra illesztett, origón átmenő egyenes \(\displaystyle k\) meredekségéből \(\displaystyle \Theta_\parallel\) kifejezhető. A 2. táblázat az ábrázolandó adatokat tartalmazza, a grafikon a 3. ábrán látható.

2. táblázat

3. ábra

Az illesztett egyenes meredeksége:

\(\displaystyle k=(0{,}308\pm 0{,}016)~\mathrm{s^2}, \)

amiből

\(\displaystyle \Theta_\parallel=\left(\frac{kg}{2x}-1\right)mr^2=(6{,}18\pm 0{,}94)\cdot 10^{-7}~\mathrm{kg\,m}^2. \)

A merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomaték méréséhez az elemből egy fizikai ingát készítünk, és annak lengési idejét mérjük meg. A fizikai inga lengésideje:

ahol \(\displaystyle s\) a forgástengely és a tömegközéppont távolsága.

A méréshez az elem egyik végére egy könnyű fogpiszkálót ragasztunk, amelynek végeit két kartondobozba szúrjuk (4. ábra). A hegyes végeken a kicsiny sugár miatt kicsiny fékező forgatónyomaték lép fel, így az inga lengése akár 100 lengésen át is megfigyelhető.

4. ábra

A mérési eredmények:

A tömegközéppont helyét körülbelül az elem geometriai középpontjában feltételeztük. (Az elem feltételezhetően forgásszimmetrikus, de a két vége kicsit különbözik. A tömegközéppont helye a szimmetriatengely mentén könnyen kimérhető, ha az elemet egy vízszintes, éles peremű asztal szélén óvatosan toljuk kifelé, és megnézzük, mikor billen le.) Így

\(\displaystyle s\approx \frac{L}{2}=(24\pm 0{,}25)~\mathrm{mm}. \)

A keresett tehetetlenségi nyomaték a (3) összefüggés alapján:

\(\displaystyle \Theta_\perp=\frac{mgsT^2}{4\pi^2}-ms^2=(4{,}55\pm 0{,}20)\cdot 10^{-6}~\mathrm{kg\,m}^2. \)

Homogén hengert feltételezve a méretek és a tömeg alapján adódó értékek:

Bár az eltérés a mért értékektől mindkét esetben kicsiny (az első esetben hibahatáron belüli), az elem a felépítése miatt nem tekinthető homogén hengernek.

Hegedüs Márk (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)

17 dolgozat érkezett. Helyes 5 megoldás. Kicsit hiányos (4–5 pont) 5, hiányos (3 pont) 2, hibás 3, nem versenyszerű 2 dolgozat.