Szerk
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
(4 pont)
Megoldás. a) Ameddig a kapcsoló nyitva van, a 10 V-os telepen nem folyik áram, mintha ott sem lenne (1. ábra). Így csak egy egyszerű soros kapcsolás marad, amelynek eredő ellenállása \(\displaystyle R_{\mathrm{e}}=R_1+R_2=20\,\Omega\). Ebből az áramerősség ebben az esetben \(\displaystyle I=U_2/R_{\mathrm{e}}=1~\mathrm{A}\).
1. ábra
Tehát ekkor mindkét ellenálláson és a 20 V-os telepen is \(\displaystyle I=1~\mathrm{A}\) erősségű áram folyik. (A 10 V-os telepen pedig nem folyik áram.)
Ha a kapcsolót bezárjuk, akkor az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson \(\displaystyle U_1=10~\mathrm{V}\) feszültség esik, tehát rajta most is \(\displaystyle I_{R1}=U_1/R_1=1~\mathrm{A}\) áram folyik, de az előzővel ellentétes irányba, vagyis a 2. ábrán jobbról balra.
2. ábra
Ha a \(\displaystyle C\) pont potenciálját 0-nak vesszük, akkor a \(\displaystyle B\) pont potenciálja \(\displaystyle -10~\mathrm{V}\), míg az \(\displaystyle A\) ponté \(\displaystyle +20~\mathrm{V}\), így az \(\displaystyle R_2\) ellenálláson \(\displaystyle U_{AB}=30~\mathrm{V}\) feszültség esik. Tehát rajta \(\displaystyle I_2=U_{AB}/R_2=3~\mathrm{A}\) erősségű áram folyik, a korábbival azonos irányban (az ábrán balról jobbra). A 20 V-os telep árama ugyanekkora, míg a 10 V-os telepen a csomóponti törvény szerint \(\displaystyle I_{U1}=I_{R1}+I_2=4~\mathrm{A}\) áram folyik (a \(\displaystyle B\) pontból a \(\displaystyle C\) pont irányába).
Összefoglalva: az \(\displaystyle R_2\) ellenálláson és a 20 V-os telepen 3 A, az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson 1 A, míg a 10 V-os telepen 4 A erősségű áram folyik.
b) Nyitott kapcsoló esetén a 10 V-os telep polaritása érdektelen, a megoldás ekkor megegyezik az a) részben leírtakkal.
3. ábra
Ha a kapcsolót a 10 V-os telep fordított polaritása mellett zárjuk (3. ábra), a \(\displaystyle B\) pont potenciálja a \(\displaystyle C\) ponthoz képest \(\displaystyle +10~\mathrm{V}\) lesz, így mindkét ellenálláson ugyanakkora és ugyanolyan irányú feszültség esik, mint a nyitott kapcsoló esetében.
Ebben az esetben tehát a kapcsoló zárása semmilyen változást nem okoz: mindkét ellenálláson és a 20 V-os telepen is \(\displaystyle I=1~\mathrm{A}\) erősségű áram folyik, a 10 V-os telepen pedig nem folyik áram.
Villant Vanda (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 9. évf.)
Megjegyzés. A feladat nem kéri, de érdemes megvizsgálni az áramkör energiaviszonyait is (ez egyben ellenőrzésre is alkalmas). Nyitott kapcsoló esetén, és a fordított polaritásnál a zárt kapcsoló esetén is csak a 20 V-os telepen át folyik áram, az általa leadott teljesítmény ekkor \(\displaystyle P=U_2I=20~\mathrm{W}\). A Joule-hő miatt fejlődő hőteljesítmény pedig mindkét ellenálláson \(\displaystyle P_{\mathrm{J}}=RI^2=10~\mathrm{W}\), összesen 20 W, ami megegyezik a leadott teljesítménnyel.
Az a) esetben zárt kapcsoló esetén a 10 V-os telep \(\displaystyle P_1=U_1I_{U1}=40~\mathrm{W}\), míg a 20 V-os telep \(\displaystyle P_2=U_2I_2=60~\mathrm{W}\) teljesítményt ad le. Eközben az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson a disszipálódó hőteljesítmény \(\displaystyle P_\mathrm{J1}=I_{R1}^2R_1=10~\mathrm{W}\), az \(\displaystyle R_2\) ellenálláson pedig \(\displaystyle P_\mathrm{J2}=I_2^2R_2=90~\mathrm{W}\). Megnyugtató módon teljesül az energiamérleg: \(\displaystyle 40~\mathrm{W}+60~\mathrm{W}=100~\mathrm{W}=10~\mathrm{W}+90~\mathrm{W}\).
40 dolgozat érkezett. Helyes 18 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 5, hiányos (1–2 pont) 14, hibás 1, nem versenyszerű 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5700. A legenda szerint Dido, Türosz hercegnője, miután menekülni kényszerült hazájából, Észak-Afrikába érkezett, ahol a helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit egy ökörbőrrel körbe tud keríteni. Az uralkodó beleegyezett, mire Dido hosszú, keskeny csíkra vágta a bőrt, amiből kerítést készített, majd a lehető legnagyobb földterületet választotta le a tengerpart mentén, megalapítva Karthágó városát.
A történet egy kevésbé ismert változata szerint Dido hajózásai során egy 1 km sugarú, kör alakú szigeten kötött ki, valahol a Földközi-tengeren. Legfeljebb mekkora földterületet tudott leválasztani, ha a kerítésének hossza 1 km volt?
Dido a kettéosztott sziget kisebb területrészét tekinthette sajátjának.
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
