Szerk
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
(4 pont)
Megoldás. a) Ameddig a kapcsoló nyitva van, a 10 V-os telepen nem folyik áram, mintha ott sem lenne (1. ábra). Így csak egy egyszerű soros kapcsolás marad, amelynek eredő ellenállása \(\displaystyle R_{\mathrm{e}}=R_1+R_2=20\,\Omega\). Ebből az áramerősség ebben az esetben \(\displaystyle I=U_2/R_{\mathrm{e}}=1~\mathrm{A}\).
1. ábra
Tehát ekkor mindkét ellenálláson és a 20 V-os telepen is \(\displaystyle I=1~\mathrm{A}\) erősségű áram folyik. (A 10 V-os telepen pedig nem folyik áram.)
Ha a kapcsolót bezárjuk, akkor az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson \(\displaystyle U_1=10~\mathrm{V}\) feszültség esik, tehát rajta most is \(\displaystyle I_{R1}=U_1/R_1=1~\mathrm{A}\) áram folyik, de az előzővel ellentétes irányba, vagyis a 2. ábrán jobbról balra.
2. ábra
Ha a \(\displaystyle C\) pont potenciálját 0-nak vesszük, akkor a \(\displaystyle B\) pont potenciálja \(\displaystyle -10~\mathrm{V}\), míg az \(\displaystyle A\) ponté \(\displaystyle +20~\mathrm{V}\), így az \(\displaystyle R_2\) ellenálláson \(\displaystyle U_{AB}=30~\mathrm{V}\) feszültség esik. Tehát rajta \(\displaystyle I_2=U_{AB}/R_2=3~\mathrm{A}\) erősségű áram folyik, a korábbival azonos irányban (az ábrán balról jobbra). A 20 V-os telep árama ugyanekkora, míg a 10 V-os telepen a csomóponti törvény szerint \(\displaystyle I_{U1}=I_{R1}+I_2=4~\mathrm{A}\) áram folyik (a \(\displaystyle B\) pontból a \(\displaystyle C\) pont irányába).
Összefoglalva: az \(\displaystyle R_2\) ellenálláson és a 20 V-os telepen 3 A, az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson 1 A, míg a 10 V-os telepen 4 A erősségű áram folyik.
b) Nyitott kapcsoló esetén a 10 V-os telep polaritása érdektelen, a megoldás ekkor megegyezik az a) részben leírtakkal.
3. ábra
Ha a kapcsolót a 10 V-os telep fordított polaritása mellett zárjuk (3. ábra), a \(\displaystyle B\) pont potenciálja a \(\displaystyle C\) ponthoz képest \(\displaystyle +10~\mathrm{V}\) lesz, így mindkét ellenálláson ugyanakkora és ugyanolyan irányú feszültség esik, mint a nyitott kapcsoló esetében.
Ebben az esetben tehát a kapcsoló zárása semmilyen változást nem okoz: mindkét ellenálláson és a 20 V-os telepen is \(\displaystyle I=1~\mathrm{A}\) erősségű áram folyik, a 10 V-os telepen pedig nem folyik áram.
Villant Vanda (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 9. évf.)
Megjegyzés. A feladat nem kéri, de érdemes megvizsgálni az áramkör energiaviszonyait is (ez egyben ellenőrzésre is alkalmas). Nyitott kapcsoló esetén, és a fordított polaritásnál a zárt kapcsoló esetén is csak a 20 V-os telepen át folyik áram, az általa leadott teljesítmény ekkor \(\displaystyle P=U_2I=20~\mathrm{W}\). A Joule-hő miatt fejlődő hőteljesítmény pedig mindkét ellenálláson \(\displaystyle P_{\mathrm{J}}=RI^2=10~\mathrm{W}\), összesen 20 W, ami megegyezik a leadott teljesítménnyel.
Az a) esetben zárt kapcsoló esetén a 10 V-os telep \(\displaystyle P_1=U_1I_{U1}=40~\mathrm{W}\), míg a 20 V-os telep \(\displaystyle P_2=U_2I_2=60~\mathrm{W}\) teljesítményt ad le. Eközben az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson a disszipálódó hőteljesítmény \(\displaystyle P_\mathrm{J1}=I_{R1}^2R_1=10~\mathrm{W}\), az \(\displaystyle R_2\) ellenálláson pedig \(\displaystyle P_\mathrm{J2}=I_2^2R_2=90~\mathrm{W}\). Megnyugtató módon teljesül az energiamérleg: \(\displaystyle 40~\mathrm{W}+60~\mathrm{W}=100~\mathrm{W}=10~\mathrm{W}+90~\mathrm{W}\).
40 dolgozat érkezett. Helyes 18 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 5, hiányos (1–2 pont) 14, hibás 1, nem versenyszerű 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
