Bozóki Sándor
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok. Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.
Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Egy klasszikus feladat három edényről szól. A kék edény űrtartalma 8 liter, a zöldé 5 liter, a pirosé 3 liter. Kezdetben a kék edény tele van vízzel, a másik kettő üres. Az edényeken nincsenek jelzések. Egy edényből átönthetünk vizet egy másikba, egészen addig, amíg az előbbiből ki nem fogy, vagy az utóbbi meg nem telik. Érjük el, hogy a kék és a zöld edényben 4-4 liter víz legyen! (1. ábra)
1. ábra. A 8–5–3 literes öntögetős feladvány
Hasonló feladványokkal már a 15. században is foglalkoztak [2,3]. Dudeney [3] helyesen sejtette, hogy kell lennie egy szisztematikus megoldási módszernek is a hagyományos próbálgatás, illetve ,,kilogikázás'' mellett.
Egy ilyen, geometriai modellen alapulót ismertetünk [6,7] alapján.
Képzeljünk egy 5 és 3 oldalhosszúságú, 60 fokos paralelogramma alakú ,,biliárdasztalt'' (2. ábra). A paralelogramma minden pontja (beleértve a határát is és a belsejét is) megfelel egy elvben lehetséges vízelosztásnak a zöld és a piros edények között. Érdemes berajzolni az ábrán látható segédvonalakat is. A vízszintes vonalak mentén haladva a piros, a másik két irányban haladva vagy a zöld, vagy a kék edényben változatlan a víz mennyisége.
2. ábra. A 8-5-3 literes feladvány ,,biliárdasztalos'' modellje
A 2. ábra rácspontjai az összes olyan vízelosztást mutatják, amelyek során minden edényben egész számú liternyi víz van. A célunk a \(\displaystyle (8,0,0)\) pontból eljutni a \(\displaystyle (4,4,0)\) pontba úgy, hogy végig rácsvonalakkal párhuzamosan – sőt, igazából rácsvonalak mentén – haladjunk, hiszen ez felel meg az egyik edényből egy másikba való átöntésnek. (Miközben a harmadik edényben a víz mennyisége változatlan.) Az már most is látható, hogy a paralelogramma belsejében lévő 8 rácsponton legfeljebb átutazóban mehetünk át, de megállni sosem fogunk, hiszen ekkor egyik edény sem telítődhetett és nem is ürülhetett ki.
Vizsgáljuk meg, hogy ténylegesen mely állapotok érhetők el a kezdeti \(\displaystyle (\textcolor{blue}{8}, \textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{red}{0})\) állapotból! Mivel csak a kék edényben van víz, ebből önthetünk a zöldbe vagy a pirosba. Kezdjük a zölddel: 5 liter vizet átöntünk, így a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{5}, \textcolor{red}{0})\) állapotba jutunk. Innen kétféleképpen léphetünk tovább: visszaöntjük a zöld edényből a kékbe mind az 5 liter vizet, visszajutva a kiinduló állapotba; vagy a zöld edényből a pirosba öntünk 3 liter vizet, annak beteléséig, azaz a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{2}, \textcolor{red}{3})\) állapotig. Érdemes ezt a 3. ábrán is követni. Egy pontszerű biliárdgolyó pályáját látjuk, amit a bal alsó \(\displaystyle (\textcolor{blue}{8}, \textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{red}{0})\) sarokból vízszintesen meglökve, majd a fizika törvényei szerint a jobb alsó \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{5}, \textcolor{red}{0})\) sarokból 60 fokos szögben elpattanva a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{2}, \textcolor{red}{3})\) állapotba jutunk. Visszafelé most is léphetnénk, de azzal nem kapnánk új állapotokat. Továbbhaladni háromféleképpen lehet: a zöld edényből önthetünk a kékbe 2 liter vizet, vagy a kékből a zöldbe 3 litert, vagy a pirosból a kékbe 3 litert. E harmadik lehetőség az érdekes, hiszen a másik kettőt, amik a biliárdasztal valamelyik csúcsába visznek, egyébként is el tudnánk érni a kiinduló állapotból egy vagy két lépésben.
A 3. ábrán folytatva a golyó útját, már látszik is a megoldás: \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3},\textcolor{darkgreen}{2},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{6},\textcolor{darkgreen}{2},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{6},\textcolor{darkgreen}{0},\textcolor{red}{2})\to (\textcolor{blue}{1},\textcolor{darkgreen}{5},\textcolor{red}{2})\to (\textcolor{blue}{1},\textcolor{darkgreen}{4},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{4},\textcolor{darkgreen}{4},\textcolor{red}{0})\), ami éppen a célállapot.
3. ábra. Egy lehetséges út a (8, 0, 0) állapotból a (4, 4, 0) állapotba
Kíváncsiságból megnézhetjük a golyó további útját: \(\displaystyle (\textcolor{blue}{4},\textcolor{darkgreen}{4},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{4},\textcolor{darkgreen}{1},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{7},\textcolor{darkgreen}{1},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{7},\textcolor{darkgreen}{0},\textcolor{red}{1})\to (\textcolor{blue}{2},\textcolor{darkgreen}{5},\textcolor{red}{1})\to (\textcolor{blue}{2},\textcolor{darkgreen}{3},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{5},\textcolor{darkgreen}{3},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{5},\textcolor{darkgreen}{0},\textcolor{red}{3})\), ahonnan visszaléphetünk a kiinduló \(\displaystyle \to\) \(\displaystyle (\textcolor{blue}{8}, \textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{red}{0})\) állapotba.
E hosszú körutunk során a paralelogramma kerületén minden rácspontban pattant a golyó, így ezek az állapotok mind elérhetők. Egyedül a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{darkgreen}{5}, \textcolor{red}{3})\) csúcsponti állapot nem esett eddig utunkba, de elérhettük volna a paralelogramma bármelyik felső vagy jobb oldali rácspontjából.
Ha az út legelején mégsem vízszintesen indultunk volna el, hanem jobbra felfelé, akkor is ezt a körutat kaptuk volna, csak visszafelé. Ez az észrevétel sorsdöntő lehet a feladat egy olyan lehetséges változatában, amelyben valamelyik kerületi rácspontnak, például az \(\displaystyle (\textcolor{blue}{1}, \textcolor{darkgreen}{4}, \textcolor{red}{3})\)-nak megfelelő állapot valamilyen okból nincs megengedve. A feladat ettől még megoldható marad.
4. ábra 4. ábra. Egy trükkösebb öntögetős feladat biliárdasztalos modellje
Tekintsünk most egy másik, kicsit bonyolultabb öntögetős feladatot! Legyen a piros edény 5, a zöld 7, a kék edény pedig 9 liter űrtartalmú, a kiinduló állapot pedig \(\displaystyle (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{darkgreen}{6}, \textcolor{red}{5})\). Mivel a teljes vízmennyiség (11 liter) nagyobb, mint amennyi a legnagyobb edénybe fér, ezért a paralelogramma bal alsó sarkát le kell vágnunk, a kék edény 10 és 11 literes képzeletbeli szinthalmazaihoz tartozó rácspontokkal együtt. Le kell vágni a paralelogramma jobb felső sarkában lévő rácspontot is, mert a teljes vízmennyiség nem tudja a zöld és a piros edényeket egyszerre megtölteni. A biliárdasztalunk tehát most hatszög alakú (4. ábra), amelyben a golyó pályája ugyanolyan szemléletesen követhető, mint a korábbi, egyszerűbb esetben. Elérhető-e a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{3}, \textcolor{red}{5})\) célállapot?
Találjunk ki további öntögetős feladványokat, és rajzoljuk fel a biliárdasztalos modelljüket! Vagy akár fordítva: kezdjük a rajzzal (mint például az 5. ábrán) és fogalmazzunk meg hozzá tartozó feladványokat, keressünk érdekes kezdő- és célállapotokat!
5. ábra. Keressünk a rajzhoz tartozó feladványokat!
A most tárgyalt geometriai modell abban a tekintetben hasonlít a 2024. szeptemberi [5] és októberi [8], illetve 2025. novemberi [1] számokban felrajzolt gráfokhoz, hogy az állapotoknak itt is egy-egy (rács)pont felel meg. Az öntögetős feladványban az állapotpárok közötti átmeneteket ugyan szintén be lehetne rajzolni élekkel [4], de a biliárdasztalos ábrázolás – a maga szabályaival – egyszerűbben és szemléletesebben jeleníti meg a megengedett lépéseket.
Jó szórakozást!
[1] Bozóki Sándor: A Hanoi tornyai feladvány gráfja, KöMaL, 2025. november.
[2] Nicolas Chuquet (1484): Triparty en la science des nombres.
[3] Henry Ernest Dudeney (1917): Amusements in Mathematics (109. o.).
[4] S. M. Hegde, S. Kulamarva (2025): A Graph-Theoretic Model for a Generic Three-Jug Puzzle, https://arxiv.org/abs/2308.13868.
[5] Kós Géza: Átkelés a folyón, KöMaL, 2024. szeptember.
[6] Hugo Steinhaus: Matematikai kaleidoszkóp, Gondolat Kiadó, 1984, 66–67. o.
[7] M. C. K. Tweedie (1939): A Graphical Method of Solving Tartaglian Measuring Puzzles, The Mathematical Gazette 23(255) 278–282.
[8] Vígh Viktor: Rejtvények, ördöglakatok rovat, KöMaL, 2024. október.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
