Szerk
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
(4 pont)
Közli: Wiedemann László, Budapest
I. megoldás. a) A testek helyzete a mozgás kezdetekor és a közös mozgás elérésekor az ábrán látható.
Eközben a rendszerre nem hat vízszintes külső erő, így alkalmazható a lendületmegmaradás törvénye:
\(\displaystyle mv_0=(m+M)u, \)
amiből
\(\displaystyle u=\frac{m}{m+M}v_0=\frac{1}{3}v_0. \)
A munkatétel szerint a rendszer mozgási energiáját a súrlódási munka csökkenti:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2-\mu mg\ell=\frac{1}{2}(m+M)u^2, \)
amiből \(\displaystyle u\) kifejezését (és \(\displaystyle M=2m\)-et) behelyettesítve, majd rendezve:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Megjegyzés. A súrlódási munkát a súrlódási erő és a relatív elmozdulás szorzataként kaptuk meg. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a súrlódási erő munkáját mindkét testre kiszámítjuk, és ezeket összeadjuk. A súrlódási erő a kocsit \(\displaystyle s\) úton gyorsítja, a kis testet pedig \(\displaystyle s+\ell\) úton fékezi:
\(\displaystyle W_\mathrm{s}=\mu mgs-\mu mg(s+\ell)=-\mu mg\ell. \)
b) Ismét felírhatjuk a lendület megmaradását:
A munkatétel ebben az esetben:
Felhasználva (1)-et, majd behelyettesítve az előző részben \(\displaystyle v_0\)-ra kapott eredményt:
A másodfokú egyenlet fizikailag értelmes megoldása megadja a kocsi sebességét a kis test leesésének pillanatában:
\(\displaystyle v_2=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
(A másik megoldásból a kis testre negatív sebesség adódna, ami nem lehetséges.) A kis test sebessége ebből (1) alapján:
\(\displaystyle u_2=2(v_0-v_2)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. a) A kocsit az \(\displaystyle mg\mu\) súrlódási erő gyorsítja:
\(\displaystyle Ma_0=mg\mu, \)
\(\displaystyle a_0=\frac{mg\mu}{M}=\frac{\mu}{2}g. \)
A kocsival együtt mozgó (\(\displaystyle a_0\) gyorsulással gyorsuló) vonatkoztatási rendszerben a kis test mozgásegyenlete (figyelembe véve a \(\displaystyle -ma_0\) tehetetlenségi erőt is):
\(\displaystyle ma_\mathrm{rel}=-mg\mu-ma_0, \)
amiből (az \(\displaystyle a_0\)-ra kapott eredményt felhasználva):
\(\displaystyle a_\mathrm{rel}=-\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g=-\frac{3\mu}{2}g. \)
A kis test \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről indulva ekkora (negatív) gyorsulással \(\displaystyle \ell\) úton áll meg, amiből:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{2\ell|a_\mathrm{rel}|}=\sqrt{2\ell\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g}=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
b) A \(\displaystyle v_1=2v_0\) kezdősebesség esetében a mozgást ismét a kocsival együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben vizsgáljuk. A kis test relatív gyorsulása megegyezik az előző részben meghatározott \(\displaystyle a_\mathrm{rel}\) értékkel. Ez alapján a mozgás idejére egy másodfokú egyenletet írhatunk fel:
amelynek a fizikailag értelmes megoldása \(\displaystyle v_0\) kifejezését felhasználva:
\(\displaystyle t=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-2\right)\sqrt{\frac{\ell}{\mu g}}\approx 0{,}11~\mathrm{s}. \)
Ebből a kis test lerepülésekor a kocsi végsebessége:
\(\displaystyle v_2=a_0t=\frac{\mu}{2}gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m/s}, \)
a kis test földhöz viszonyított sebessége pedig (felhasználva, hogy a kis test földhöz viszonyított gyorsulása \(\displaystyle a=-\mu g\)):
\(\displaystyle u_2=v_1+at=2v_0-\mu gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)
42 dolgozat érkezett. Helyes 26 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 6, hiányos (1–2 pont) 8, hibás 1, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
M. 445. Mérjük meg, hogy egy adott granuláris anyagnak (pl. rizs, gersli stb.) mekkora a térkitöltése! Mennyire függ ez a rendszer preparálásától (pl.: tömörítés, rázogatás stb.)?
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
