Szerk
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
(4 pont)
Közli: Wiedemann László, Budapest
I. megoldás. a) A testek helyzete a mozgás kezdetekor és a közös mozgás elérésekor az ábrán látható.
Eközben a rendszerre nem hat vízszintes külső erő, így alkalmazható a lendületmegmaradás törvénye:
\(\displaystyle mv_0=(m+M)u, \)
amiből
\(\displaystyle u=\frac{m}{m+M}v_0=\frac{1}{3}v_0. \)
A munkatétel szerint a rendszer mozgási energiáját a súrlódási munka csökkenti:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2-\mu mg\ell=\frac{1}{2}(m+M)u^2, \)
amiből \(\displaystyle u\) kifejezését (és \(\displaystyle M=2m\)-et) behelyettesítve, majd rendezve:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Megjegyzés. A súrlódási munkát a súrlódási erő és a relatív elmozdulás szorzataként kaptuk meg. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a súrlódási erő munkáját mindkét testre kiszámítjuk, és ezeket összeadjuk. A súrlódási erő a kocsit \(\displaystyle s\) úton gyorsítja, a kis testet pedig \(\displaystyle s+\ell\) úton fékezi:
\(\displaystyle W_\mathrm{s}=\mu mgs-\mu mg(s+\ell)=-\mu mg\ell. \)
b) Ismét felírhatjuk a lendület megmaradását:
A munkatétel ebben az esetben:
Felhasználva (1)-et, majd behelyettesítve az előző részben \(\displaystyle v_0\)-ra kapott eredményt:
A másodfokú egyenlet fizikailag értelmes megoldása megadja a kocsi sebességét a kis test leesésének pillanatában:
\(\displaystyle v_2=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
(A másik megoldásból a kis testre negatív sebesség adódna, ami nem lehetséges.) A kis test sebessége ebből (1) alapján:
\(\displaystyle u_2=2(v_0-v_2)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. a) A kocsit az \(\displaystyle mg\mu\) súrlódási erő gyorsítja:
\(\displaystyle Ma_0=mg\mu, \)
\(\displaystyle a_0=\frac{mg\mu}{M}=\frac{\mu}{2}g. \)
A kocsival együtt mozgó (\(\displaystyle a_0\) gyorsulással gyorsuló) vonatkoztatási rendszerben a kis test mozgásegyenlete (figyelembe véve a \(\displaystyle -ma_0\) tehetetlenségi erőt is):
\(\displaystyle ma_\mathrm{rel}=-mg\mu-ma_0, \)
amiből (az \(\displaystyle a_0\)-ra kapott eredményt felhasználva):
\(\displaystyle a_\mathrm{rel}=-\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g=-\frac{3\mu}{2}g. \)
A kis test \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről indulva ekkora (negatív) gyorsulással \(\displaystyle \ell\) úton áll meg, amiből:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{2\ell|a_\mathrm{rel}|}=\sqrt{2\ell\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g}=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
b) A \(\displaystyle v_1=2v_0\) kezdősebesség esetében a mozgást ismét a kocsival együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben vizsgáljuk. A kis test relatív gyorsulása megegyezik az előző részben meghatározott \(\displaystyle a_\mathrm{rel}\) értékkel. Ez alapján a mozgás idejére egy másodfokú egyenletet írhatunk fel:
amelynek a fizikailag értelmes megoldása \(\displaystyle v_0\) kifejezését felhasználva:
\(\displaystyle t=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-2\right)\sqrt{\frac{\ell}{\mu g}}\approx 0{,}11~\mathrm{s}. \)
Ebből a kis test lerepülésekor a kocsi végsebessége:
\(\displaystyle v_2=a_0t=\frac{\mu}{2}gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m/s}, \)
a kis test földhöz viszonyított sebessége pedig (felhasználva, hogy a kis test földhöz viszonyított gyorsulása \(\displaystyle a=-\mu g\)):
\(\displaystyle u_2=v_1+at=2v_0-\mu gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)
42 dolgozat érkezett. Helyes 26 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 6, hiányos (1–2 pont) 8, hibás 1, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
