Szerk
P. 5682. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle H\) magasságú hengerben folyadék van. A hengert a tengelye körül forgásba hozzuk. A forgás szögsebességét lassan növeljük egészen addig, amíg a folyadék széle felhúzódik egészen az edény szájáig. Ekkor a pohár aljának közepéről éppen ,,eltűnik'' a folyadék.
a) Mekkora az edény legnagyobb szögsebessége?
b) Milyen magasan áll a folyadék a hengerben induláskor?
(5 pont)
Közli: Simon Péter, Pécs
Megoldás. a) Tegyük fel, hogy a henger \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel forog, és a víz formája a feladatnak megfelelő. Nyilván a víz felszíne forgásszimmetrikus, tehát bármely, a henger forgástengelyén áthaladó keresztmetszet ugyanolyan formájú lesz. Legyen valamely keresztmetszet felszínének az egyenlete \(\displaystyle h(r)\), ahol \(\displaystyle r=0\) a forgástengely és \(\displaystyle h=0\) a henger alaplapja.
Vegyünk egy \(\displaystyle m\) tömegű vízrészecskét a felszínen, amely \(\displaystyle x\) távolságra van a forgástengelytől. A forgó hengerhez rögzített vonatkoztatási rendszerben erre a részecskére hat az \(\displaystyle mg\) nagyságú, függőleges irányú nehézségi erő, az \(\displaystyle m\omega^2r\) nagyságú, vízszintes irányú centrifugális erő (tehetetlenségi erő), és egy, a folyadék felületére merőleges irányú nyomóerő (1. ábra). Ahhoz, hogy a részecske egyensúlyban legyen, a nehézségi erő és a centrifugális erő vektoriális összegének merőlegesnek kell lennie a felületre.
1. ábra
A felület meredeksége \(\displaystyle h'(r)\), amiből
ahol \(\displaystyle h(0)=0\) alapján az integrációs állandó \(\displaystyle c=0\). Ezen kívül a feladat szövege alapján \(\displaystyle h(R)=H\), amiből:
\(\displaystyle \omega=\frac{\sqrt{2gH}}{R}. \)
b) Határozzuk meg a folyadékból hiányzó forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatát! Ehhez osszuk fel a testet \(\displaystyle \mathrm{d}h\) magasságú henger alakú szeletekre (2. ábra).
2. ábra
A \(\displaystyle h\) magasságban lévő szelet sugara (2) alapján:
\(\displaystyle r(h)=\frac{\sqrt{2gh}}{\omega}, \)
térfogata pedig:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=\frac{2gh}{\omega^2}\pi\,\mathrm{d}h. \)
A keresett térfogat integrálással határozható meg:
\(\displaystyle V=\frac{2g\pi}{\omega^2}\int\limits_0^H h\,\mathrm{d}h=\frac{gH^2\pi}{\omega^2}=\frac{HR^2\pi}{2}. \)
(Az utolsó lépésben \(\displaystyle \omega\) előző részben megkapott kifejezését helyettesítettük be.) A teljes henger térfogata \(\displaystyle HR^2\pi\), tehát a forgási paraboloid térfogatának kétszerese. Így a folyadék térfogata megegyezik a forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatával, amiből a folyadék magassága induláskor:
\(\displaystyle H_0=\frac{V}{R^2\pi}=\frac{H}{2}. \)
Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
Megjegyzések. 1. A forgási paraboloid metszetének egyenlete meghatározható geometriai megfontolásokkal is. A parabolatükör a tengelyével párhuzamos fénysugarakat a fókuszpontba gyűjti (3. ábra). A parabola geometriai definíciója szerint a fókuszponttól és a vezéregyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (\(\displaystyle PF=PP'\)). Az \(\displaystyle F\) fókuszpont és a \(\displaystyle v\) vezéregyenes távolsága a parabola \(\displaystyle p\) paramétere, amellyel a parabola egyenlete:
\(\displaystyle h=\frac{1}{2p}r^2. \)
3. ábra
A 3. ábráról leolvashatóan a görbe érintője az \(\displaystyle FPP'\) egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye, így az \(\displaystyle FP'\) szakasz merőleges rá. Ezért a merőleges szárú szögek miatt:
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{r}{p}. \)
Ezek alapján (1) felhasználásával (\(\displaystyle \tg\alpha=h'(r)\)):
a megoldásban kapott kifejezéssel összhangban.
2. A folyadék térfogata a forgástestekre ismert számítási módszerrel is meghatározható. Ekkor a forgástestet \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle \mathrm{d}r\) vastagságú, \(\displaystyle h(r)\) magasságú hengergyűrűkre bontjuk (4. ábra), amelyek térfogata:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=2r\pi h(r)\,\mathrm{d}r. \)
Behelyettesítve \(\displaystyle h(r)\) (2)-ben megkapott kifejezését, és az integrálást elvégezve:
\(\displaystyle V=\int\limits_0^R\frac{2H\pi}{R^2}r^3\,\mathrm{d}r=\frac{2H\pi}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{HR^2\pi}{2}, \)
az előző eredménnyel összhangban.
4. ábra
40 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (1–3 pont) 10, nem versenyszerű 1, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
