A P. 5682. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5682. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle H\) magasságú hengerben folyadék van. A hengert a tengelye körül forgásba hozzuk. A forgás szögsebességét lassan növeljük egészen addig, amíg a folyadék széle felhúzódik egészen az edény szájáig. Ekkor a pohár aljának közepéről éppen ,,eltűnik'' a folyadék.

a) Mekkora az edény legnagyobb szögsebessége?

b) Milyen magasan áll a folyadék a hengerben induláskor?

(5 pont)

Közli: Simon Péter, Pécs

Megoldás. a) Tegyük fel, hogy a henger \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel forog, és a víz formája a feladatnak megfelelő. Nyilván a víz felszíne forgásszimmetrikus, tehát bármely, a henger forgástengelyén áthaladó keresztmetszet ugyanolyan formájú lesz. Legyen valamely keresztmetszet felszínének az egyenlete \(\displaystyle h(r)\), ahol \(\displaystyle r=0\) a forgástengely és \(\displaystyle h=0\) a henger alaplapja.

Vegyünk egy \(\displaystyle m\) tömegű vízrészecskét a felszínen, amely \(\displaystyle x\) távolságra van a forgástengelytől. A forgó hengerhez rögzített vonatkoztatási rendszerben erre a részecskére hat az \(\displaystyle mg\) nagyságú, függőleges irányú nehézségi erő, az \(\displaystyle m\omega^2r\) nagyságú, vízszintes irányú centrifugális erő (tehetetlenségi erő), és egy, a folyadék felületére merőleges irányú nyomóerő (1. ábra). Ahhoz, hogy a részecske egyensúlyban legyen, a nehézségi erő és a centrifugális erő vektoriális összegének merőlegesnek kell lennie a felületre.

1. ábra

A felület meredeksége \(\displaystyle h'(r)\), amiből

ahol \(\displaystyle h(0)=0\) alapján az integrációs állandó \(\displaystyle c=0\). Ezen kívül a feladat szövege alapján \(\displaystyle h(R)=H\), amiből:

\(\displaystyle \omega=\frac{\sqrt{2gH}}{R}. \)

b) Határozzuk meg a folyadékból hiányzó forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatát! Ehhez osszuk fel a testet \(\displaystyle \mathrm{d}h\) magasságú henger alakú szeletekre (2. ábra).

2. ábra

A \(\displaystyle h\) magasságban lévő szelet sugara (2) alapján:

\(\displaystyle r(h)=\frac{\sqrt{2gh}}{\omega}, \)

térfogata pedig:

\(\displaystyle \mathrm{d}V=\frac{2gh}{\omega^2}\pi\,\mathrm{d}h. \)

A keresett térfogat integrálással határozható meg:

\(\displaystyle V=\frac{2g\pi}{\omega^2}\int\limits_0^H h\,\mathrm{d}h=\frac{gH^2\pi}{\omega^2}=\frac{HR^2\pi}{2}. \)

(Az utolsó lépésben \(\displaystyle \omega\) előző részben megkapott kifejezését helyettesítettük be.) A teljes henger térfogata \(\displaystyle HR^2\pi\), tehát a forgási paraboloid térfogatának kétszerese. Így a folyadék térfogata megegyezik a forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatával, amiből a folyadék magassága induláskor:

\(\displaystyle H_0=\frac{V}{R^2\pi}=\frac{H}{2}. \)

Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)

Megjegyzések. 1. A forgási paraboloid metszetének egyenlete meghatározható geometriai megfontolásokkal is. A parabolatükör a tengelyével párhuzamos fénysugarakat a fókuszpontba gyűjti (3. ábra). A parabola geometriai definíciója szerint a fókuszponttól és a vezéregyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (\(\displaystyle PF=PP'\)). Az \(\displaystyle F\) fókuszpont és a \(\displaystyle v\) vezéregyenes távolsága a parabola \(\displaystyle p\) paramétere, amellyel a parabola egyenlete:

\(\displaystyle h=\frac{1}{2p}r^2. \)

3. ábra

A 3. ábráról leolvashatóan a görbe érintője az \(\displaystyle FPP'\) egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye, így az \(\displaystyle FP'\) szakasz merőleges rá. Ezért a merőleges szárú szögek miatt:

\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{r}{p}. \)

Ezek alapján (1) felhasználásával (\(\displaystyle \tg\alpha=h'(r)\)):

a megoldásban kapott kifejezéssel összhangban.

2. A folyadék térfogata a forgástestekre ismert számítási módszerrel is meghatározható. Ekkor a forgástestet \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle \mathrm{d}r\) vastagságú, \(\displaystyle h(r)\) magasságú hengergyűrűkre bontjuk (4. ábra), amelyek térfogata:

\(\displaystyle \mathrm{d}V=2r\pi h(r)\,\mathrm{d}r. \)

Behelyettesítve \(\displaystyle h(r)\) (2)-ben megkapott kifejezését, és az integrálást elvégezve:

\(\displaystyle V=\int\limits_0^R\frac{2H\pi}{R^2}r^3\,\mathrm{d}r=\frac{2H\pi}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{HR^2\pi}{2}, \)

az előző eredménnyel összhangban.

4. ábra

40 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (1–3 pont) 10, nem versenyszerű 1, nem értékelt 1 dolgozat.