Vígh Viktor
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok. Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.
Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
A 2025. szeptemberi és decemberi KöMaL-ban megjelent cikkek nyomán folytatjuk a bújócska típusú játékok tanulmányozását. Decemberi számunkban egy érdekes megoldási trükköt javasoltunk: képzeletben – mintha csak gumiból lenne – elhajtogattuk a játék keretét. Az így módosított játék megoldása viszonylag könnyű (legalábbis rutinos bújócskázóknak mindenképpen). Azt állítottuk, hogy ez a mentális kép sokat segíthet az eredeti játék megoldásában. Ebben az írásban ezt a transzformációs technikát próbáljuk jobban megvizsgálni és megérteni.
Térjünk vissza az alapokhoz, és transzformáljuk el a drótszív játékot. Képzeletben kicsinyítsük le az átmenő rudat és az azt lezáró egyik hurkot. Így persze a szívet akadálytalanul vehetjük le a keretről (1. ábra).
1. ábra
Ahhoz, hogy a rúd kicsinyítését igazán jól fel tudjuk használni az eredeti feladat megoldására, úgy kell elképzelnünk, hogy nem csak magát a játékot, hanem a teljes teret transzformáljuk ,,anélkül, hogy eltépnénk'' (azaz folytonosan). Ezt szemlélteti a 2. ábra.
2. ábra
Ezután rajzoljuk be a kiszabaduló szív útját sematikusan, egy folytonos piros vonallal szemléltetve, majd ,,csináljuk vissza'' a lekicsinyítős transzformációt. Ezen ,,visszacsinálás'' során természetesen a térrel együtt a piros vonal is transzformálódik. (És ez is folytonosan.) A piros vonal transzformáció utáni képe gyakorlatilag megmutatja nekünk a megoldást (3. ábra).
3. ábra
Ezzel a tapasztalattal felvértezve már nekiláthatunk az egyik decemberi probléma megoldásának. Itt a feladat az volt, hogy le kell fűzni a zsinórt a golyóval (4. ábra).
4. ábra
Transzformáljuk ez esetben is a drót vázat (és vele együtt a teret) a decemberi számban is javasolt módon, vagyis ,,emeljük fel a jobb oldali dróton a hurkot''. A zsinór végének útját a transzformált képen viszonylag könnyen berajzolhatjuk (5. ábra). Ha ezután visszatranszformáljuk a hurkot az eredeti helyére – és vele a teret –, akkor a piros vonal megmutatja az eredeti játék megoldását (6. ábra).
A bújócska típusú játékok fogalmát nem definiáltuk pontosan, de talán a bemutatott példák alapján kialakult a kedves olvasóban egyfajta kép, hogy milyen feladványokat sorolnak ide. A drótszívnél az imént látott ,,átbújtatjuk, kigomboljuk, visszabújtatjuk'' alapötletet többféleképpen is nehezíthetjük, módosíthatjuk, az így keletkező játékokat pedig mind bújócskának nevezhetjük.
A 7. és 8. képen néhány igen látványos (és nehéz) bújócska változat látható. A feladat minden esetben az, hogy le kell venni a zsinórt a szerkezetről.
Matematikailag a legkönnyebben talán azok a változatok modellezhetők, ahol valamilyen merev keretről kell egy hosszú, a kerethez sehol nem rögzített madzagot lefűznünk. (Általában feltesszük, hogy a zsinór elég hosszú bármilyen manőverhez.) Ilyen játékot magunk is tervezhetünk, sőt készíthetünk; rudak és gyűrűk kellően bonyolult rendszeréről szinte biztosan komoly kihívás lefűzni a zsinórt. (Az egy külön kérdés, hogy mitől lesz élvezetes egy ilyen feladvány – erre valószínűleg nincs jó válasz, de az elkészítése mindenképpen érdekes kihívás.)
De honnan tudhatjuk, hogy egy játék egyáltalán megoldható? Ha úgy készítünk el egy bújócskát, hogy a keretre fűzzük fel a korábban különálló zsinórt, akkor természetesen megoldható feladványt kapunk. De ha a kereten valahol keresztüldugott zsinór két végét ezután kötjük össze, akkor a megoldhatóság már korántsem biztos.
Egy lehetőség a megoldhatóság vizsgálatára, hogy képzeletben transzformáljuk a keretet, ahogyan fentebb láttuk. Például a 9. ábrán látható, a KöMaL 2024. márciusi számának belső borítóján is szereplő Jákob lajtorjája nevű játéknál a pálcákat egymásból egyesével kibújtathatjuk, és így a keret teljesen szétbontható. Világos, hogy emiatt a zsinór biztosan lefűzhető a keretről. Elméletileg a tér visszatranszformálásával és benne a lefűzött zsinór útjának követésével itt is eljutunk a megoldáshoz, de a szerző tapasztalata szerint bizonyos bonyolultsági szint fölött ez majdnem kivitelezhetetlen. Ilyen esetekben a megoldás érdekében gyakran érdemes a transzformálást korábban mutatott fogásokkal (pl. rekurzív gondolkodás) ötvözni.
9. ábra
Mindazonáltal a transzformációs módszer legalábbis arról azonnal meggyőzi az avatott szemű megfigyelőt, hogy a 7. ábrán látható játék is biztosan megoldható.
Sokkal nehezebb probléma egy feladvány megoldhatatlanságát igazolni. [Különösen a megoldhatókét. ] Általános érvényű tételt nemigen várhatunk. Ismert néhány – főleg az algebrai topológia területéhez tartozó – bizonyítási eljárás, amely segítségünkre lehet. Ezeket azonban még speciális esetben is komoly feladat lehet alkalmazni. Egy nevezetes megoldhatatlan játék látható a 10. ábrán. Ennek történetéről a KöMaL YouTube csatornáján ([3]) bővebben hallhatunk. A feladat megoldhatatlanságát Inta Bertuccioni bizonyította 2003-ban ([4]).
10. ábra
Jó szórakozást!
1–3. kép: [1]
7. kép: Gál Péter fotója
8. kép: A kép forrása: https://puzzleworld.org/DesignCompetition/2018/. Nick Baxter fotója alapján.
9–10. kép: A kép forrása ordoglakat.blog.hu
[1] Markus Götz: Basic Strategies to solve Disentanglement Puzzles, https://www.gathering4gardner.org/g4g11gift/Gotz_Markus-Disentanglement_Puzzles.pdf
[2] Gál Péter, személyes kommunikáció
[3] Vígh Viktor: (Két) Egy megoldhatatlan játék története, https://www.youtube.com/watch?v=qBxXml8JVsU
[4] Inta Bertuccioni: A Topological Puzzle, The American Mathematical Monthly, Vol. 110, No. 10 (2003), pp. 937–939.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
