Vígh Viktor
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok. Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.
Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
A 2025. szeptemberi és decemberi KöMaL-ban megjelent cikkek nyomán folytatjuk a bújócska típusú játékok tanulmányozását. Decemberi számunkban egy érdekes megoldási trükköt javasoltunk: képzeletben – mintha csak gumiból lenne – elhajtogattuk a játék keretét. Az így módosított játék megoldása viszonylag könnyű (legalábbis rutinos bújócskázóknak mindenképpen). Azt állítottuk, hogy ez a mentális kép sokat segíthet az eredeti játék megoldásában. Ebben az írásban ezt a transzformációs technikát próbáljuk jobban megvizsgálni és megérteni.
Térjünk vissza az alapokhoz, és transzformáljuk el a drótszív játékot. Képzeletben kicsinyítsük le az átmenő rudat és az azt lezáró egyik hurkot. Így persze a szívet akadálytalanul vehetjük le a keretről (1. ábra).
1. ábra
Ahhoz, hogy a rúd kicsinyítését igazán jól fel tudjuk használni az eredeti feladat megoldására, úgy kell elképzelnünk, hogy nem csak magát a játékot, hanem a teljes teret transzformáljuk ,,anélkül, hogy eltépnénk'' (azaz folytonosan). Ezt szemlélteti a 2. ábra.
2. ábra
Ezután rajzoljuk be a kiszabaduló szív útját sematikusan, egy folytonos piros vonallal szemléltetve, majd ,,csináljuk vissza'' a lekicsinyítős transzformációt. Ezen ,,visszacsinálás'' során természetesen a térrel együtt a piros vonal is transzformálódik. (És ez is folytonosan.) A piros vonal transzformáció utáni képe gyakorlatilag megmutatja nekünk a megoldást (3. ábra).
3. ábra
Ezzel a tapasztalattal felvértezve már nekiláthatunk az egyik decemberi probléma megoldásának. Itt a feladat az volt, hogy le kell fűzni a zsinórt a golyóval (4. ábra).
4. ábra
Transzformáljuk ez esetben is a drót vázat (és vele együtt a teret) a decemberi számban is javasolt módon, vagyis ,,emeljük fel a jobb oldali dróton a hurkot''. A zsinór végének útját a transzformált képen viszonylag könnyen berajzolhatjuk (5. ábra). Ha ezután visszatranszformáljuk a hurkot az eredeti helyére – és vele a teret –, akkor a piros vonal megmutatja az eredeti játék megoldását (6. ábra).
A bújócska típusú játékok fogalmát nem definiáltuk pontosan, de talán a bemutatott példák alapján kialakult a kedves olvasóban egyfajta kép, hogy milyen feladványokat sorolnak ide. A drótszívnél az imént látott ,,átbújtatjuk, kigomboljuk, visszabújtatjuk'' alapötletet többféleképpen is nehezíthetjük, módosíthatjuk, az így keletkező játékokat pedig mind bújócskának nevezhetjük.
A 7. és 8. képen néhány igen látványos (és nehéz) bújócska változat látható. A feladat minden esetben az, hogy le kell venni a zsinórt a szerkezetről.
Matematikailag a legkönnyebben talán azok a változatok modellezhetők, ahol valamilyen merev keretről kell egy hosszú, a kerethez sehol nem rögzített madzagot lefűznünk. (Általában feltesszük, hogy a zsinór elég hosszú bármilyen manőverhez.) Ilyen játékot magunk is tervezhetünk, sőt készíthetünk; rudak és gyűrűk kellően bonyolult rendszeréről szinte biztosan komoly kihívás lefűzni a zsinórt. (Az egy külön kérdés, hogy mitől lesz élvezetes egy ilyen feladvány – erre valószínűleg nincs jó válasz, de az elkészítése mindenképpen érdekes kihívás.)
De honnan tudhatjuk, hogy egy játék egyáltalán megoldható? Ha úgy készítünk el egy bújócskát, hogy a keretre fűzzük fel a korábban különálló zsinórt, akkor természetesen megoldható feladványt kapunk. De ha a kereten valahol keresztüldugott zsinór két végét ezután kötjük össze, akkor a megoldhatóság már korántsem biztos.
Egy lehetőség a megoldhatóság vizsgálatára, hogy képzeletben transzformáljuk a keretet, ahogyan fentebb láttuk. Például a 9. ábrán látható, a KöMaL 2024. márciusi számának belső borítóján is szereplő Jákob lajtorjája nevű játéknál a pálcákat egymásból egyesével kibújtathatjuk, és így a keret teljesen szétbontható. Világos, hogy emiatt a zsinór biztosan lefűzhető a keretről. Elméletileg a tér visszatranszformálásával és benne a lefűzött zsinór útjának követésével itt is eljutunk a megoldáshoz, de a szerző tapasztalata szerint bizonyos bonyolultsági szint fölött ez majdnem kivitelezhetetlen. Ilyen esetekben a megoldás érdekében gyakran érdemes a transzformálást korábban mutatott fogásokkal (pl. rekurzív gondolkodás) ötvözni.
9. ábra
Mindazonáltal a transzformációs módszer legalábbis arról azonnal meggyőzi az avatott szemű megfigyelőt, hogy a 7. ábrán látható játék is biztosan megoldható.
Sokkal nehezebb probléma egy feladvány megoldhatatlanságát igazolni. [Különösen a megoldhatókét. ] Általános érvényű tételt nemigen várhatunk. Ismert néhány – főleg az algebrai topológia területéhez tartozó – bizonyítási eljárás, amely segítségünkre lehet. Ezeket azonban még speciális esetben is komoly feladat lehet alkalmazni. Egy nevezetes megoldhatatlan játék látható a 10. ábrán. Ennek történetéről a KöMaL YouTube csatornáján ([3]) bővebben hallhatunk. A feladat megoldhatatlanságát Inta Bertuccioni bizonyította 2003-ban ([4]).
10. ábra
Jó szórakozást!
1–3. kép: [1]
7. kép: Gál Péter fotója
8. kép: A kép forrása: https://puzzleworld.org/DesignCompetition/2018/. Nick Baxter fotója alapján.
9–10. kép: A kép forrása ordoglakat.blog.hu
[1] Markus Götz: Basic Strategies to solve Disentanglement Puzzles, https://www.gathering4gardner.org/g4g11gift/Gotz_Markus-Disentanglement_Puzzles.pdf
[2] Gál Péter, személyes kommunikáció
[3] Vígh Viktor: (Két) Egy megoldhatatlan játék története, https://www.youtube.com/watch?v=qBxXml8JVsU
[4] Inta Bertuccioni: A Topological Puzzle, The American Mathematical Monthly, Vol. 110, No. 10 (2003), pp. 937–939.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
