Szerk
P. 5676. Az ábrán látható kapcsolási rajz szerint összeállított áramkörben szereplő feszültségforrás elektromotoros ereje \(\displaystyle 20~\mathrm{V}\), az ellenállások \(\displaystyle R_1=50~\Omega\), illetve \(\displaystyle R_2=150~\Omega\) nagyságúak, a kondenzátor \(\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}\) kapacitású. Kezdetben a K kapcsoló zárva van.
a) Mekkora a kondenzátor töltése a kapcsoló zárt állása esetén?
b) A kapcsoló nyitását követően kialakuló állandósult állapot eléréséig mennyivel változik meg a kondenzátor energiája, és mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson?
A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható.
(5 pont)
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
Megoldás. a) A kapcsoló zárt állása esetén az ellenállásokon az ellenállások arányában oszlik meg a feszültség, a kondenzátor feszültsége pedig a vele párhuzamosan kötött \(\displaystyle R_2\) ellenállás feszültségével lesz egyenlő. Így a kondenzátor feszültsége
\(\displaystyle U_\mathrm{C}=U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U_0=15~\mathrm{V}, \)
a kondenzátor keresett töltése pedig:
\(\displaystyle Q=CU_\mathrm{C}=3\cdot 10^{-4}~\mathrm{C}=300~\mu\mathrm{C}. \)
b) A kapcsoló kinyitása után egy tranziens folyamat kezdődik, majd a tranziens lezajlása után már nem fog sehol áram folyni az áramkörben. Ekkor a teljes telepfeszültség a kondenzátorra esik, azaz
\(\displaystyle U_\mathrm{C}'=U_0=20~\mathrm{V}, \)
és így a kondenzátor új töltése:
\(\displaystyle Q'=CU_\mathrm{C}'=4\cdot 10^{-4}~\mathrm{C}=400~\mu\mathrm{C}. \)
A kondenzátoron tehát a folyamat végén több töltés lesz, a többlet a feszültségforrásból az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson keresztül jut a kondenzátorra, miközben azon hő fejlődik. Eközben a kondenzátor energiája is megnő, a változása:
\(\displaystyle \Delta E=E'-E=\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}'^2-\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}^2=1{,}75\cdot 10^{-3}~\mathrm{J}=1{,}75~\mathrm{mJ}. \)
A telepen eközben \(\displaystyle \Delta Q=Q'-Q=10^{-4}~\mathrm{C}=100~\mu\mathrm{C}\) töltés halad át, így a telep munkavégzése:
\(\displaystyle W=\Delta QU_0=2\cdot 10^{-3}~\mathrm{J}=2~\mathrm{mJ}. \)
Az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson felszabaduló Joule-hő a telep munkavégzésének és a kondenzátor energianövekményének a különbsége:
\(\displaystyle W_1=W-\Delta E=2{,}5\cdot 10^{-4}~\mathrm{J}=0{,}25~\mathrm{mJ}. \)
Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)
Megjegyzés. A feladat megoldásához nem szükséges, de leírhatjuk a tranziens folyamatot is. A huroktörvény alapján:
\(\displaystyle U_0=R_1I(t)+U_\mathrm{C}(t), \)
ahol
\(\displaystyle I=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}. \)
Ezt behelyettesítve:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{R_1C}(U_\mathrm{C}(t)-U_0), \)
amely egy ugyanolyan differenciálegyenlet az \(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0\) mennyiségre, mint a jól ismert bomlási törvény. Ez alapján a megoldása:
\(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0=(U_\mathrm{C}(0)-U_0)~\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}, \)
ahol \(\displaystyle \tau=R_1C\) az időállandó, és \(\displaystyle U_\mathrm{C}(0)=15~\mathrm{V}\) a kondenzátor kezdeti feszültsége. Így az áram időfüggése:
\(\displaystyle I(t)=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{U_0-U_\mathrm{C}(0)}{R_1}~\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}, \)
a teljes felszabaduló Joule-hőt pedig ennek integrálásával kaphatjuk meg:
\(\displaystyle W_1=\int\limits_0^\infty R_1I(t)^2~\mathrm{d}t=\frac{(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2}{R_1}\int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{2t}{\tau}}~\mathrm{d}t=\frac{C}{2}(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2=0{,}25~\mathrm{mJ}, \)
az előző megoldással összhangban.
40 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 11, hiányos (2–3 pont) 10, hibás 1, nem értékelt 2 dolgozat.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
