A P. 5676. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5676. Az ábrán látható kapcsolási rajz szerint összeállított áramkörben szereplő feszültségforrás elektromotoros ereje \(\displaystyle 20~\mathrm{V}\), az ellenállások \(\displaystyle R_1=50~\Omega\), illetve \(\displaystyle R_2=150~\Omega\) nagyságúak, a kondenzátor \(\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}\) kapacitású. Kezdetben a K kapcsoló zárva van.

a) Mekkora a kondenzátor töltése a kapcsoló zárt állása esetén?

b) A kapcsoló nyitását követően kialakuló állandósult állapot eléréséig mennyivel változik meg a kondenzátor energiája, és mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson?

A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható.

(5 pont)

Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely

Megoldás. a) A kapcsoló zárt állása esetén az ellenállásokon az ellenállások arányában oszlik meg a feszültség, a kondenzátor feszültsége pedig a vele párhuzamosan kötött \(\displaystyle R_2\) ellenállás feszültségével lesz egyenlő. Így a kondenzátor feszültsége

\(\displaystyle U_\mathrm{C}=U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U_0=15~\mathrm{V}, \)

a kondenzátor keresett töltése pedig:

\(\displaystyle Q=CU_\mathrm{C}=3\cdot 10^{-4}~\mathrm{C}=300~\mu\mathrm{C}. \)

b) A kapcsoló kinyitása után egy tranziens folyamat kezdődik, majd a tranziens lezajlása után már nem fog sehol áram folyni az áramkörben. Ekkor a teljes telepfeszültség a kondenzátorra esik, azaz

\(\displaystyle U_\mathrm{C}'=U_0=20~\mathrm{V}, \)

és így a kondenzátor új töltése:

\(\displaystyle Q'=CU_\mathrm{C}'=4\cdot 10^{-4}~\mathrm{C}=400~\mu\mathrm{C}. \)

A kondenzátoron tehát a folyamat végén több töltés lesz, a többlet a feszültségforrásból az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson keresztül jut a kondenzátorra, miközben azon hő fejlődik. Eközben a kondenzátor energiája is megnő, a változása:

\(\displaystyle \Delta E=E'-E=\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}'^2-\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}^2=1{,}75\cdot 10^{-3}~\mathrm{J}=1{,}75~\mathrm{mJ}. \)

A telepen eközben \(\displaystyle \Delta Q=Q'-Q=10^{-4}~\mathrm{C}=100~\mu\mathrm{C}\) töltés halad át, így a telep munkavégzése:

\(\displaystyle W=\Delta QU_0=2\cdot 10^{-3}~\mathrm{J}=2~\mathrm{mJ}. \)

Az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson felszabaduló Joule-hő a telep munkavégzésének és a kondenzátor energianövekményének a különbsége:

\(\displaystyle W_1=W-\Delta E=2{,}5\cdot 10^{-4}~\mathrm{J}=0{,}25~\mathrm{mJ}. \)

Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)

Megjegyzés. A feladat megoldásához nem szükséges, de leírhatjuk a tranziens folyamatot is. A huroktörvény alapján:

\(\displaystyle U_0=R_1I(t)+U_\mathrm{C}(t), \)

ahol

\(\displaystyle I=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}. \)

Ezt behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{R_1C}(U_\mathrm{C}(t)-U_0), \)

amely egy ugyanolyan differenciálegyenlet az \(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0\) mennyiségre, mint a jól ismert bomlási törvény. Ez alapján a megoldása:

\(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0=(U_\mathrm{C}(0)-U_0)~\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}, \)

ahol \(\displaystyle \tau=R_1C\) az időállandó, és \(\displaystyle U_\mathrm{C}(0)=15~\mathrm{V}\) a kondenzátor kezdeti feszültsége. Így az áram időfüggése:

\(\displaystyle I(t)=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{U_0-U_\mathrm{C}(0)}{R_1}~\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}, \)

a teljes felszabaduló Joule-hőt pedig ennek integrálásával kaphatjuk meg:

\(\displaystyle W_1=\int\limits_0^\infty R_1I(t)^2~\mathrm{d}t=\frac{(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2}{R_1}\int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{2t}{\tau}}~\mathrm{d}t=\frac{C}{2}(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2=0{,}25~\mathrm{mJ}, \)

az előző megoldással összhangban.

40 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 11, hiányos (2–3 pont) 10, hibás 1, nem értékelt 2 dolgozat.