Szerk
G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?
(4 pont)
de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán
Megoldás. Számozzuk be fentről lefelé az ellenállásokat, és rajzoljuk át az áramkört mindkét esetben jobban áttekinthető formába (ábra).
Az a) esetben a két ágban a sorosan kapcsolt ellenállások eredője:
\(\displaystyle R_{12}=R_1+R_2\quad\textrm{és}\quad R_{34}=R_3+R_4. \)
Ezek párhuzamosan vannak kapcsolva, így az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{12}\times R_{34}=\frac{R_{12}R_{34}}{R_{12}+R_{34}}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)
(Itt \(\displaystyle \times\) a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok szorzatának reciproka.)
A b) esetben az alsó ágban sorba kapcsolt ellenállások eredője:
\(\displaystyle R_{234}=R_2+R_3+R_4, \)
az eredő ellenállás pedig:
\(\displaystyle R_{\mathrm{b}}=R_1\times R_{234}=\frac{R_1R_{234}}{R_1+R_{234}}=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)
A két kapcsolás eredő ellenállása egyenlő, ha \(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{\mathrm{b}}\), amely a megegyező nevezők miatt akkor teljesül, ha a számlálók is egyenlők:
A feladat szerint mindegyik ellenállás nullától különböző, így \(\displaystyle R_2\neq 0\). A két elrendezés eredő ellenállása tehát akkor és csak akkor egyenlő, ha
\(\displaystyle R_3+R_4=R_1, \)
azaz (az eredeti ábrán) a felső ellenállás nagysága megegyezik a két alsó ellenállás nagyságának összegével.
Zsilák Márk Péter (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.)
50 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 18, hibás 5 dolgozat.
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
