A G. 900. fizika gyakorlat megoldása

Szerk

G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?

(4 pont)

de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán

Megoldás. Számozzuk be fentről lefelé az ellenállásokat, és rajzoljuk át az áramkört mindkét esetben jobban áttekinthető formába (ábra).

Az a) esetben a két ágban a sorosan kapcsolt ellenállások eredője:

\(\displaystyle R_{12}=R_1+R_2\quad\textrm{és}\quad R_{34}=R_3+R_4. \)

Ezek párhuzamosan vannak kapcsolva, így az eredő ellenállás:

\(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{12}\times R_{34}=\frac{R_{12}R_{34}}{R_{12}+R_{34}}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)

(Itt \(\displaystyle \times\) a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok szorzatának reciproka.)

A b) esetben az alsó ágban sorba kapcsolt ellenállások eredője:

\(\displaystyle R_{234}=R_2+R_3+R_4, \)

az eredő ellenállás pedig:

\(\displaystyle R_{\mathrm{b}}=R_1\times R_{234}=\frac{R_1R_{234}}{R_1+R_{234}}=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)

A két kapcsolás eredő ellenállása egyenlő, ha \(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{\mathrm{b}}\), amely a megegyező nevezők miatt akkor teljesül, ha a számlálók is egyenlők:

A feladat szerint mindegyik ellenállás nullától különböző, így \(\displaystyle R_2\neq 0\). A két elrendezés eredő ellenállása tehát akkor és csak akkor egyenlő, ha

\(\displaystyle R_3+R_4=R_1, \)

azaz (az eredeti ábrán) a felső ellenállás nagysága megegyezik a két alsó ellenállás nagyságának összegével.

Zsilák Márk Péter (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.)

50 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 18, hibás 5 dolgozat.