Dőry István
A NapCsiga egy tisztán napelemes (tehát hálózatról nem tölthető) kishaszonjármű (1. ábra), amely 2017-ben a tatabányai Edutus Egyetemen egy projekt keretében készült, és azóta is használatban van. A járműre szerelt adatgyűjtőnek köszönhetően rengeteg adat áll rendelkezésre, amelyből érdekes tapasztalatok összegezhetők. Ebben az írásban néhány egyszerű és közismert fizikai összefüggés gyakorlati érvényesülését mutatjuk meg; mit lehet elérni és milyen korlátokat jelent ez a technológia.
A napelemes jármű tervezésének legalapvetőbb lépése a méretezés. A jármű saját tömege 350 kg, a maximális terhelhetősége kb. 300 kg. A felszerelt napelemtáblák teljes felülete \(\displaystyle 4{,}8~\mathrm{m}^2\), ezzel szép idő esetén naponta 1-2 kWh befogott energiára lehet számítani. Ehhez kell méretezni a motor teljesítményét (\(\displaystyle 1500~\mathrm{W}\approx 2~\mathrm{LE}\)) és az akkumulátorok kapacitását (3 kWh, 1-2 naponként feltöltődik, 1-2 naponta kihasználjuk). Ez megszabja a hatótávolságot (30-40 km helyi fuvar, ha közben süt a Nap, akkor néha 100 km) (A legtöbb, amit egy nap megtett, az 130 km volt, de arra már nagyon fel kellett készülni: előtöltöttség, korai indulás, sok napoztatás.), és a használat módját: jellemzően helyi teherszállítás, fatelep, bolt, posta, néha országjárás, tábori felszerelés szállítása, nyáron maximális kihasználtság, télen csendes pihenő. Csodák nincsenek: ha egy hétig esik az eső, akkor az akkumulátorban lévő 40 km-re lehet számítani, hiába vannak sürgős elképzeléseink.
A járműbe a szombathelyi ELTE-n szereltünk egy fedélzeti elektronikát, amely másodpercenként megmér néhány feszültség- és áramadatot (Arduino Orange Pie Zero segítségével). A kormányon lévő mobiltelefon (wifi által közvetítve) élőben mutatja a teljesítményt, a sebességet, az irányt és néhány egyéb értéket, míg az átlagokat percenként rögzítjük is a későbbi elemzés céljából. Ezekből az összesítésekből derül ki, hogy a NapCsiga átlagosan kb. 1 kWh-t tölt naponta, és ebből 0,85 kWh-t használ fel. Az elektronika önfogyasztása 1,5 W, a jármű önfogyasztása 4 W, ami jelentős ahhoz képest, hogy a napelemek átlagosan (éjjel-nappal, télen és nyáron) 40 W teljesítménnyel termelnek.
Megjegyzés. Ha 10-szer erősebben sütne a Nap, akkor meglenne egy Trabant teljesítménye (19 kW), de akkor néhány nap múlva már forrna a tenger felszíne.
Fontos megemlíteni a méretfüggőséget is. Kicsiny napjárművet bárki tud készíteni: végy egy tenyérnyi napelemet, kösd rá egy egyenáramú villanymotorra, és menni fog – az első árnyékig. A sebessége 1 m/s lesz, a teherbírása pár gramm.
Ehhez képest kell nagyobbat álmodni, hogy elbírjon egy embert, karosszériát, pár csomagot, akkumulátort, hogy este is menjen, és egy kicsit gyorsabban, 7 m/s-mal. Sajnos a térfogat/felület arány ellenünk dolgozik: ha száz tenyérnyi napelem a tetőfelülete, akkor ezerszer nagyobb lesz az egész tömege, amit meg kell mozdítani. Ez az álom, ahogy láthatjuk, még éppen megvalósítható.
Ugyanakkor, ami nem elérhető: egy szokásos autóban 4 kW csak a fűtés, 1,5 kW az alapjárat, 1 kW a lengéscsillapítás, 8 mázsa az akkumulátor, 4 mázsa az ütközési zóna, 40 kW a légellenállás, és 1 kW az önvezető infrastruktúra. A NapCsiga majdnem autó méretű, tud menni 25 km/h sebességgel, de kevesebbet fogyaszt, mint egy autó alapjárata a piros lámpánál. Ezt tudja a Nap!
A jármű kis sebessége miatt a légellenállás elhanyagolható, a sebességtől független gördülési ellenállás a meghatározó. A \(\displaystyle \mu_{\mathrm{g}}\) gördülési ellenállási tényező értéke többféleképp is megmérhető. Az egyik lehetőség: a tapasztalat szerint a jármű egy 3%-os lejtőn egyenletes sebességgel, gyorsulás vagy lassulás nélkül gurul szabadon, amiből az \(\displaystyle mg\sin\alpha=\mu_{\mathrm{g}}mg\cos\alpha\) összefüggés alapján \(\displaystyle \mu_{\mathrm{g}}=\tg\alpha\approx 0{,}03\). A másik lehetőség: vízszintes talajon egy fürdőszobai mérleggel eltoljuk a járművet. 150 kg hasznos tömeg (\(\displaystyle m=500~\mathrm{kg}\) össztömeg) esetén a mért gördülési ellenállás \(\displaystyle F_{\mathrm{g}}\approx 150~\mathrm{N}\), amelyből szintén \(\displaystyle \mu_{\mathrm{g}}\approx 0{,}03\) gördülési ellenállási tényezőt kapunk.
Ez az érték azért nagyon fontos, mert a gördülési ellenállás és a motor teljesítménye meghatározza a jármű maximális sebességét is. Vízszintes úton
\(\displaystyle P=F_{\mathrm{g}}v=mg\mu_{\mathrm{g}}v, \)
ahonnan \(\displaystyle P\approx 1000~\mathrm{W}\) átlagos teljesítménnyel és \(\displaystyle m=500~\mathrm{kg}\) jellemző össztömeggel számolva \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\approx 7~\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebesség adódik. Ha a jármű \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtőn felfelé halad, akkor
\(\displaystyle P=mg(\mu_{\mathrm{g}}+\sin\alpha)v, \)
amiből a hajlásszög növelésével egyre kisebb elérhető sebesség adódik: 6%-os emelkedőn kb. 10 km/h-val, 10%-os emelkedőn 6 km/h-val tud felmenni. (10%-os emelkedőnél a sebességváltót felezőbe kell kapcsolni, de ez a teljesítményen és a sebességen nem változtat, csak más lesz a hangja. A legmeredekebb emelkedő 16%-os volt, itt a végén már meg kellett állni, mert túlmelegedett a motor.)
Hasonlóan csökkenti a sebességet a jelentős szembeszél is. Egy hosszú, egyenes szakaszon megmértük, hogy a széllel szemben és hátszéllel haladás között a jármű fogyasztásában 500 W-nyi különbség jelentkezett, ami körülbelül megegyezik az akkumulátorok maximális töltési teljesítményével (vagy kicsit akár meg is haladja azt). Akkor ez most egy napjármű, vagy vitorlás? Az óriási különbség az – azon kívül, hogy a szél csak az egyik irányban segít, a másikban hátráltat –, hogy álló helyzetben, behúzott kézifékkel és felnyitott napelemtáblákkal órákon keresztül 500 W a Nap, viszont 0 W a szél teljesítménye.
Ugyanakkor az akkumulátorokban tárolt energiával megtehető távolság nem függ a sebességtől, hiszen a gördülési ellenállás sebességfüggetlen. Ha az út során az előjelesen összegzett teljes szintemelkedés nulla, akkor a teljes munka
\(\displaystyle W=F_{\mathrm{g}}s=mg\mu_{\mathrm{g}}s, \)
amelyből a rendelkezésre álló energia ismeretében \(\displaystyle s_{\mathrm{max}}\) meghatározható. A sebességfüggetlenséget méréssel igazoltuk is: egy gyakran járt, ismert távon, ha szándékosan lassabban mentünk, még egy kicsit több energia is fogyott, mert hosszabb ideig volt bekapcsolva a fedélzeti elektronika.
Az összegyűjtött adatok alapján érdekes megfigyeléseket tehetünk az akkumulátor és az elektronika viselkedéséről is. A gyorsítás, lassítás minden esetben egy-egy mérőkísérlet, amely megmondja, hogy a 30-40 A nagyságú motoráram hogyan csökkenti le (vagy fékezéskor, lejtmenetben hogyan növeli meg) a kapocsfeszültség pillanatnyi értékét. Az akkumulátor működését egy adott állapotában az
\(\displaystyle U=U_0-IR_{\mathrm{b}} \)
összefüggés jellemzi, ahol az \(\displaystyle U\) kapocsfeszültéget és az akkumulátor által leadott \(\displaystyle I\) áramerősséget folyamatosan mérjük. Az \(\displaystyle U(I)\) függvény tehát egy egyenes, amelynek meredeksége \(\displaystyle -R_{\mathrm{b}}\), az akkumulátor belső ellenállásának \(\displaystyle -1\)-szerese, tengelymetszete pedig \(\displaystyle U_0\), az akkumulátor pillanatnyi elektromotoros ereje (töltöttségtől függően jellemzően 60-63 V).
Az éveken át végzett sok-sok mérés tapasztalata alapján: ha már ment 10 percet a jármű (A teljesen feltöltött akkumulátor feszültsége az első percekben aránylag gyorsan csökken.), és ezután nem adunk gázt (de nem is fékezünk, a motor árama nulla), akkor 8 másodperccel később a mért kapocsfeszültség megegyezik a pillanatnyi elektromotoros erővel. Egyébként a kapocsfeszültség a gyorsítás és lassítás során a terhelés függvényében le-föl ugrál (,,feszültségfésű'' az \(\displaystyle U(t)\) grafikonon), amiből viszont az elektronika egyenesillesztéssel folyamatosan ki tudja számítani \(\displaystyle U_0\) és \(\displaystyle R_{\mathrm{b}}\) pillanatnyi értékét.
A 2. ábra az akkumulátor kapocsfeszültségének és áramának kapcsolatát mutatja egy hosszabb, hegyre felvezető, majd onnan leguruló út során. Kezdetben az akkumulátor teljesen fel van töltve (\(\displaystyle T\) pont), és az elektromotoros erő (\(\displaystyle U_0\)) nagyon magas értéken áll, ez azonban a használat első perceiben gyorsan csökken. Ezután az \(\displaystyle U\)-\(\displaystyle I\) függvény rövid távon egy negatív meredekségű egyenes mentén mozog (amelynek \(\displaystyle -R_b\) a meredeksége, piros szaggatott vonal), és amely az akkumulátorok merülése miatt lassan lefelé tolódik. A nagyon nagy, \(\displaystyle +40~\mathrm{A}\) nagyságú áramok (és az ehhez tartozó alacsony kapocsfeszültségek) a hegymenet (\(\displaystyle H\) pontok) közben, míg a nagy abszolút értékű, de negatív előjelű, \(\displaystyle -30~\mathrm{A}\) nagyságú áramok (és az ehhez tartozó emelkedett kapocsfeszültségek) a lejtőn gurulás (\(\displaystyle L\) pontok) közben mérhetők. Az utóbbi esetben a jármű motorfékkel fékez, és ezzel tölti az akkumulátort, amely a hosszú gurulás alatt láthatóan megemeli a töltöttséget. A \(\displaystyle -5~\mathrm{A}\)-es töltőáram csúcsokat (álló helyzetben) a napelemek teljesítménye okozza (\(\displaystyle N\) pontok), de a töltés az elvonuló felhők miatt néha gyengébb, vagy meg is szakad.
2. ábra
Az \(\displaystyle U_0\) elektromotoros erő használat közben (az akkumulátor merülésével) kb. 20-30 percenként 1 V-tal csökken. Azonban használat közben, a merülés és melegedés hatására az akkumulátor \(\displaystyle R_{\mathrm{b}}\) belső ellenállása is változik, növekszik. A 3. ábrán látható grafikon azt mutatja, hogy az utóbbi jelenti a nagyobb problémát: amikor \(\displaystyle R_{\mathrm{b}}\) értéke meghaladja az eredeti érték dupláját, akkor a működéshez szükséges \(\displaystyle 30~\mathrm{A}\)-es terhelés hatására már annyira lecsökken a kapocsfeszültség (\(\displaystyle U_{30}\)), hogy a jármű nem lesz üzemképes: nem tud elindulni, gyorsítani. Ilyenkor egy időre meg kell állni, hogy az akkumulátor regenerálódjon, és ha süt a Nap, töltődjön is.
3. ábra
Az is hasznos megfigyelés, hogy menet közben csak ,,átalányban'' tölt a jármű (kb. 200 W teljesítménnyel), ha viszont megállunk egy szép napos helyen, akkor jellemzően több mint 400 W a töltés teljesítménye. Lehet gyanakodni az út menti fákra (nem), a felhőkre (nem), a kanyarokra, hogy jobbról vagy balról süt a Nap vagy szemből, ami a legkisebb felület (ez sem). Azért kicsi a töltés, mert menet közben a gyorsítás-lassítás miatt folyamatosan változik az akkumulátor kapocsfeszültsége, és így a töltésvezérlő nem talál optimális munkapontot (ahhoz kell körülbelül 30 másodperc nyugalom).
De ez nem olyan nagy baj, mert egy kb. egy órás út után jellemzően több órát áll a napon, így az utóbbi, nagyobb teljesítményérték a meghatározó. (A benzines autók még soha nem termeltek egyetlen csepp kőolajat, sem menet közben, sem parkolva. Az igás lovak tudnak legelni az út szélén, de menet közben ők sem.)
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk.
A fizikában (és sok más tudományterületen) gyakran szükségünk lehet egy függvény szélsőértékének (minimumának vagy maximumának) meghatározására. Ez történhet differenciálszámítás segítségével, grafikus ábrázolással, esetenként algebrai egyenlőtlenségek felhasználásával, vagy erre alkalmas, az interneten szabadon hozzáférhető számítógépes programok (pl. GeoGebra, WolframAlpha) futtatásával.
Ha egy egyváltozós, sima (differenciálható) \(\displaystyle f(x)\) függvénynek valamely \(\displaystyle x_0\) pontban (lokális) szélsőértéke van, akkor ott a deriváltja nulla kell hogy legyen. Ezzel egyenértékű megfogalmazás (ami nem igényli a differenciálszámítás formális szabályainak ismeretét) a következő. Ha a függvény értékei az \(\displaystyle x_0\) ponthoz közel, attól kicsiny \(\displaystyle \epsilon\) távolságra
\(\displaystyle f(x_0+\epsilon)=f(x_0)+m(x_0)\,\epsilon+\delta(x_0,\epsilon) \)
alakban írhatók fel (ahol \(\displaystyle \delta(x_0,\epsilon)\) ,,nagyon kicsi'' mennyiség), akkor \(\displaystyle m(x_0)\)-at a függvény \(\displaystyle x_0\) pontbeli ,,meredekségének'' nevezzük. A ,,nagyon kicsi'' pongyola megfogalmazás itt azt jelenti, hogy \(\displaystyle \delta\) még \(\displaystyle \epsilon\)-nál is sokkal kisebb, mert a \(\displaystyle \delta/\epsilon\) hányados \(\displaystyle \epsilon\) csökkentésével tetszőlegesen kicsivé tehető. A \(\displaystyle \delta\) mennyiséget gyakran ,,másodrendűen kicsinek'' is nevezzük, és a közelítő számításokban \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagoljuk.
