Szerk
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
(5 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
Megoldás. a) Határozzuk meg először a \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a,tkp}}\) tehetetlenségi nyomatékot a háromszög tömegközéppontján átmenő (és a háromszög síkjára merőleges) tengelyre. Ehhez osszuk fel a szabályos háromszöget 4 egybevágó kis háromszögre, ahogy azt az 1. ábra mutatja. A kis háromszögek tömegközéppontjai között, valamint a kis háromszögek tömegközéppontja és csúcsai között a távolság: \(\displaystyle d=\tfrac{\sqrt{3}}{6}a\).
1. ábra
Keressük a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a,tkp}}=k_1ma^2\) alakban! Ekkor egy kis háromszög (saját tömegközéppontján átmenő tengelyre vonatkoztatott) tehetetlenségi nyomatéka:
\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a,tkp,k}}=k_1\frac{m}{4}\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{1}{16}k_1ma^2=\frac{1}{16}\Theta_{\mathrm{a,tkp}}. \)
(Felhasználtuk, hogy a kis síkidom méretei a nagy méreteinek fele, és így a tömege a nagy tömegének negyede.) Rakjuk össze a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát a négy kis háromszögéből a Steiner-tétel segítségével, felhasználva, hogy három kis háromszög tömegközéppontja a közös tömegközépponton átmenő tengelytől \(\displaystyle d\) távolságra helyezkedik el:
\(\displaystyle k_1ma^2=4\cdot\frac{1}{16}k_1ma^2+3\cdot\frac{m}{4}d^2=\frac{1}{4}k_1ma^2+\frac{3}{4}m\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2=\left(\frac{1}{4}k_1+\frac{1}{16}\right)ma^2. \)
Az egyenletből \(\displaystyle k_1=\tfrac{1}{12}\) adódik. Végül a csúcson átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel alapján határozzuk meg (felhasználva, hogy a tömegközéppont és a csúcs távolsága \(\displaystyle 2d=\tfrac{\sqrt{3}}{3}a\)):
\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a}}=\Theta_{\mathrm{a,tkp}}+m(2d)^2=\frac{1}{12}ma^2+\frac{1}{3}ma^2=\frac{5}{12}ma^2. \)
b) Hasonló módszerrel dolgozhatunk a \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{b}}\) tehetetlenségi nyomaték meghatározásakor is: a 2. ábrán látható módon ugyanúgy 4 kis háromszögre bontjuk a nagy háromszöget.
2. ábra
Keressük most a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{b}}=k_2ma^2\) alakban! A kis háromszögek magasságvonalra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka az előzőhöz hasonlóan a nagy háromszög magasságvonalra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékának \(\displaystyle \tfrac{1}{16}\)-od része. A nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát ismét a négy kis háromszögéből rakjuk össze a Steiner-tétel segítségével, felhasználva, hogy most két kis háromszög tömegközéppontja a tengelytől \(\displaystyle \tfrac{a}{4}\) távolságra helyezkedik el:
\(\displaystyle k_2ma^2=4\cdot\frac{1}{16}k_2ma^2+2\cdot\frac{m}{4}\left(\frac{a}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{4}k_2+\frac{1}{32}\right)ma^2. \)
Az egyenletből \(\displaystyle k_2=\tfrac{1}{24}\) adódik, tehát a keresett tehetetlenségi nyomaték:
\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{b}}=\frac{1}{24}ma^2. \)
c) Legyen a keresett tehetetlenségi nyomaték \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c}}\). A merőleges tengelyek tétele értelmében:
\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a}}=\Theta_{\mathrm{b}}+\Theta_{\mathrm{c}}, \)
amiből
\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c}}=\Theta_{\mathrm{a}}-\Theta_{\mathrm{b}}=\frac{3}{8}ma^2. \)
Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)
Megjegyzések. 1. A merőleges tengelyek tétele könnyen levezethető a tehetetlenségi nyomaték definíciója alapján. Egy síkidom tehetetlenségi nyomatéka bármely tengelyre a \(\displaystyle \Theta=\sum m_id_i^2\) összefüggéssel számítható ki, ahol \(\displaystyle d_i\) az adott kis tömegelem távolsága a kiválasztott tengelytől. A 4. ábrán látható, hogy a síklapra merőleges \(\displaystyle a\) tengelytől mért \(\displaystyle d_{a,i}\) távolságra fennáll, hogy \(\displaystyle d_{a,i}^2=d_{b,i}^2+d_{c,i}^2\), ahol \(\displaystyle d_{b,i}\) és \(\displaystyle d_{c,i}\) a síkban lévő, egymásra merőleges \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) tengelyektől mért távolságok. Ebből és a tehetetlenségi nyomaték fenti összegzős képletéből azonnal adódik a \(\displaystyle \Theta_{{a}}=\Theta_{{b}}+\Theta_{{c}}\) összefüggés.
3. ábra
2. A c) kérdésre ennek ismerete nélkül, az előző két esethez hasonló módon is adhatunk megoldást. Ekkor az a) részhez hasonlóan először a tömegközépponton átmenő, az egyik oldallal párhuzamos \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c,tkp}}\) tehetetlenségi nyomatékot határozzuk meg ugyanolyan módszerrel. A 4. ábrán most is \(\displaystyle d=\tfrac{\sqrt{3}}{6}a\).
4. ábra
Keressük a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát most \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c,tkp}}=k_3ma^2\) alakban! Egy kis háromszög tömegközéppontján átmenő, egyik oldallal párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka az előzőkhöz hasonlóan most is a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékának \(\displaystyle \tfrac{1}{16}\)-od része. A nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát ismét a négy kis háromszögéből rakjuk össze a Steiner-tétel segítségével, felhasználva, hogy most két kis háromszög tömegközéppontja a tengelytől \(\displaystyle \tfrac{d}{2}\), míg egy kis háromszögé \(\displaystyle d\) távolságra helyezkedik el:
\(\displaystyle k_3ma^2=4\cdot\frac{1}{16}k_3ma^2+2\cdot\frac{m}{4}\left(\frac{d}{2}\right)^2+\frac{m}{4}d^2=\frac{1}{4}k_3ma^2+\frac{3}{8}m\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2=\left(\frac{1}{4}k_3+\frac{1}{32}\right)ma^2. \)
34005. ábra Az egyenletből \(\displaystyle k_3=\tfrac{1}{24}\) adódik. A csúcson átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékot ismét a Steiner-tétel alapján határozzuk meg (megint felhasználva, hogy a tömegközéppont és a csúcs távolsága \(\displaystyle 2d=\tfrac{\sqrt{3}}{3}a\)):
\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c}}=\Theta_{\mathrm{c,tkp}}+m(2d)^2=\frac{1}{24}ma^2+\frac{1}{3}ma^2=\frac{3}{8}ma^2, \)
az előző megoldással összhangban.
3. A megoldásokhoz más feldarabolással is el lehet jutni.
4. A tehetetlenségi nyomatékok kiszámíthatók integrálszámítással is. Különböző felosztásokat lehet használni, itt most a háromszöglapot \(\displaystyle \mathrm{d}x\) szélességű, \(\displaystyle \ell=\tfrac{2}{\sqrt{3}}x\) hosszúságú kis téglalapokból fogjuk összerakni (5. ábra), amelyek tehetetlenségi nyomatéka a középpontjukon átmenő, a szakaszra merőleges tengelyekre \(\displaystyle \mathrm{d}\Theta=\tfrac{1}{12}\ell^2\mathrm{d}m\), a szakaszon átmenő tengelyre pedig nulla. A kis szakasz tömegét a \(\displaystyle \mathrm{d}m=\tfrac{m}{A}\ell\mathrm{d}x\) összefüggéssel fejezhetjük ki, ahol \(\displaystyle {A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2}\) a háromszög területe. Ahol szükséges, használjuk a Steiner-tételt.
5. ábra
Már az integrálás elvégzése előtt látszik, hogy teljesül a \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a}}=\Theta_{\mathrm{b}}+\Theta_{\mathrm{c}}\) összefüggés (merőleges tengelyek tétele).
30 dolgozat érkezett. Helyes 21 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
