A P. 5692. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5692. Egy adott mennyiségű egyatomos ideális gáz kvázisztatikusan eljut a kezdeti \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle V_0\) térfogatú állapotából a \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle 2V_0\) térfogatú végállapotába. A folyamatot úgy választjuk meg, hogy a gáz hőmérséklete sohasem csökkenhet, illetve a gáz sohasem adhat le hőt.

a) Minimálisan mekkora hőt közölhettünk a gázzal?

b) Maximálisan mekkora hőt közölhettünk a gázzal?

(5 pont)Kvant feladat

I. megoldás. Jelölje a kezdeti, \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle V_0\) térfogatú állapotot A, a végső, \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle 2V_0\) térfogatú állapotot B. Mivel a gáz hőmérséklete sehol sem csökkenhet, a folyamat mindvégig az A és B állapotokhoz tartozó izotermák között kell haladjon. Ugyanígy, mivel a gáz sehol nem adhat le hőt, a folyamat mindvégig az A és B állapotokon átmenő adiabaták között kell haladjon. A folyamat tehát csak az 1. ábrán halvány zölddel jelölt \(\displaystyle \mathrm{AK_1BK_2}\) síkidomon belül haladhat.

1. ábra

Az I. főtétel alapján

\(\displaystyle Q=\Delta E+W_{\mathrm{g}}, \)

ahol \(\displaystyle Q\) a gáz által felvett hő, \(\displaystyle \Delta E=E_{\mathrm{B}}-E_{\mathrm{A}}\) a gáz belső energiájának megváltozása és \(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\) a gáz által végzett munka. A hőfelvétel akkor lesz minimális, ha a gáz által végzett munka minimális, és akkor lesz maximális, ha a munkavégzés is maximális.

A gáz által végzett munka megegyezik a \(\displaystyle p\)–\(\displaystyle V\) síkon a folyamatot leíró görbe alatti (előjeles) területtel (hiszen \(\displaystyle \mathrm{d}W=p~\mathrm{d}V\)). Ez alapján a gáz legkisebb munkavégzése, és így legkisebb hőfelvétele az \(\displaystyle \mathrm{AK_1B}\) útvonalon, a legnagyobb pedig az \(\displaystyle \mathrm{AK_2B}\) útvonalon történik. (Ezek az útvonalak kielégítik a feladat feltételeit: a hőmérséklet soha nem csökken, mindig vagy állandó, vagy növekszik, és hőleadás sincsen, hiszen vagy hőfelvétel történik, vagy adiabatikus a folyamat.)

A \(\displaystyle \mathrm{K_1}\) állapotban a gáz állapotjelzői legyenek \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle V_1\), az utóbbi meghatározása:

A \(\displaystyle \mathrm{K_1B}\) folyamat adibatikus, ott nem történik hőfelvétel. Az \(\displaystyle \mathrm{AK_1}\) folyamat izotermikus, így a hőfelvétel megegyezik a gáz munkavégzésével, amiből:

\(\displaystyle Q_{\mathrm{min}}=Q_{\mathrm{AK_1}}=W_{\mathrm{g},\,\mathrm{AK}_1}=p_0V_0\ln\frac{V_1}{V_0}=\frac{5\ln2}{2}p_0V_0\approx 1{,}73\,p_0V_0. \)

Hasonlóan a \(\displaystyle \mathrm{K_2}\) állapotban a \(\displaystyle V_2\) térfogat:

Most az \(\displaystyle \mathrm{AK_2}\) folyamat adibatikus, ott nem történik hőfelvétel, és a \(\displaystyle \mathrm{K_2B}\) folyamat izotermikus. Ezen a szakaszon a hőfelvétel így ismét megegyezik a gáz munkavégzésével, amiből:

\(\displaystyle Q_{\mathrm{max}}=Q_{\mathrm{K_2B}}=W_{\mathrm{g},\,\mathrm{K_2B}}=2p_0V_0\ln\frac{2V_0}{V_2}=5\ln2\cdot p_0V_0=2Q_{\mathrm{min}}\approx 3{,}46\,p_0V_0. \)

A Zsebkornél csapat: Baráz Kornél, Horváth Ábel Nándor, Szél Márton (Budapest, Szent István Gimn., 12. évf.)

II. megoldás. Legyen a gáz hőmérséklete az A jelű kiinduló állapotban \(\displaystyle T_0\), ekkor az egyesített gáztörvény alapján a B jelű végállapotban a hőmérséklet \(\displaystyle 2T_0\) lesz. A gáz entrópiaváltozása a folyamat során:

\(\displaystyle \Delta S=nR\left(\frac{f}{2}\ln\frac{2T_0}{T_0}+\ln\frac{2V_0}{V_0}\right)=\ln2\left(\frac{f}{2}+1\right)nR=\frac{5\ln 2}{2}nR, \)

ahol \(\displaystyle n\) a gáz anyagmennyisége, \(\displaystyle R\) pedig az egyetemes gázállandó. Felhasználtuk, hogy a gáz egyatomos, így \(\displaystyle f=3\). (Az entrópia kezdeti értékét nem tudjuk meghatározni – nincs is rá szükségünk –, csak a megváltozását.)

A folyamat során a hőmérséklet sehol sem csökkenhet. Ahhoz pedig, hogy a gáz soha ne adjon le hőt, az entrópia sem csökkenhet sehol. Tehát a folyamatnak a \(\displaystyle T\)–\(\displaystyle S\) hőmérséklet–entrópia grafikonon (2. ábra) a halvány zöld területen belül kell maradnia, csak a nagyobb hőmérséklet és nagyobb entrópia irányába haladhat (vagy állandó lehet).

2. ábra

A \(\displaystyle T\)–\(\displaystyle S\) grafikonon a gáz által felvett hőt a görbe alatti (előjeles) terület adja meg (hiszen \(\displaystyle \mathrm{d}Q=T\,\mathrm{d}S\)). Ebből látszik, hogy a minimális hőközlést úgy érhetjük el, ha először állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékleten hőt közlünk a gázzal (növeljük az entrópiáját), majd adiabatikusan (hőközlés, és így entrópiaváltozás nélkül) összenyomva növeljük a hőmérsékletét (\(\displaystyle \mathrm{AK_1B}\) folyamat). A maximális hőközléshez pedig éppen fordítva, először adiabatikusan (izentropikusan) növeljük a hőmérsékletét, majd ezután állandó \(\displaystyle 2T_0\) hőmérsékleten közlünk vele hőt (\(\displaystyle \mathrm{AK_2B}\) folyamat).

A minimális közölt hő tehát:

\(\displaystyle Q_{\mathrm{min}}=T_0\Delta S=\frac{5\ln 2}{2}nRT_0=\frac{5\ln 2}{2}p_0V_0\approx 1{,}73\,p_0V_0. \)

a maximális közölt hő pedig:

\(\displaystyle Q_{\mathrm{max}}=2T_0\Delta S=5\ln 2\cdot nRT_0=5\ln 2\cdot p_0V_0=2Q_{\mathrm{min}}\approx 3{,}46\,p_0V_0. \)

Patócs Péter (Budapest, Kempelen Farkas Gimn., 10. évf.)

31 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Hiányos (1–3 pont) 22, hibás 1 dolgozat.