A C. 1833. gyakorlat megoldása

Szerk

C. 1833. Oldjuk meg az

egyenletekből álló egyenletrendszert, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) természetes számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

1. megoldás. Az egyenletrendszer első két egyenletének összeadásával \(\displaystyle a+a^3=b^2+b\), a kapott egyenlet mindkét oldalához \(\displaystyle b\)-t adva

\(\displaystyle a+b+a^3=b^2+2b. \)

A harmadik egyenlet szerint \(\displaystyle a+b=c^3\), ezért

\(\displaystyle a^3+c^3=b^2+2b. \)

Alkalmazzuk az \(\displaystyle a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)\) azonosságot, ezzel az előző egyenletből \(\displaystyle (a+c)(a^2-ac+c^2)=b^2+2b\) adódik, ebből pedig

Ha az (1) egyenletben \(\displaystyle b=0\), akkor a feltételek és \(\displaystyle a+c=b\) miatt \(\displaystyle a=0\) és \(\displaystyle c=0\). Számolással ellenőrizhető, hogy az

\(\displaystyle a=0,\quad b=0, \quad c=0 \)

számhármas megoldása az egyenletrendszernek.

Ha \(\displaystyle b\neq 0\), akkor oszthatunk vele, így (1)-ből az \(\displaystyle a^2-ac+c^2=b+2=a+c+2\), ebből pedig az \(\displaystyle a^2-a+c^2-c-ac=2\) egyenletet kapjuk.

Ekvivalens átalakítással \(\displaystyle (a-1)^2+(c-1)^2+a+c-ac-2=2\), illetve

Az \(\displaystyle a^2-a+c^2-c-ac=2\) egyenletből az is következik, hogy \(\displaystyle (a-c)^2+ac=a+c+2\), azaz \(\displaystyle (a-c)^2-2=a+c-ac\).

Ezt beírva a (2) egyenletbe

Három négyzetszám összege csak úgy lehet 6, ha az egyik négyzetszám 4, a másik kettő 1, ezért három esetet kell megvizsgálnunk: (a-1)2=1,  (c-1)2=1,  (a-c)2=4,\tag*(i)
(a-1)2=1,  (c-1)2=4,  (a-c)2=1,\tag*(ii)
(a-1)2=4,  (c-1)2=1,  (a-c)2=1.\tag*(iii) Az (i) esetben csak \(\displaystyle a=0\), \(\displaystyle c=2\) vagy \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle c=0\) lenne lehetséges, ellenkező esetben nem teljesül az \(\displaystyle (a-c)^2=4\) egyenlőség.

Azonban sem \(\displaystyle a=0\), \(\displaystyle c=2\), sem pedig \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle c=0\) nem ad megoldást, mert az előbbi ellentmond az eredeti egyenletrendszer második, utóbbi a harmadik egyenletének.

Az (ii) csak úgy volna lehetséges, ha \(\displaystyle a=0\) vagy \(\displaystyle a=2\), illetve \(\displaystyle c=3\) vagy \(\displaystyle {c=-1}\). Az ezekből képezhető négy számpár közül nyilván nem felel meg az a kettő, amelyben \(\displaystyle {c=-1}\), a másik kettő közül csak az \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle c=3\) felel meg az \(\displaystyle (a-c)^2=1\) feltételnek. Ebből azonban \(\displaystyle b=5\) következne, de az \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle b=5\), \(\displaystyle c=3\) számhármas nem felel meg az egyenletrendszer második és harmadik egyenletének.

Végül az (iii) eset első két egyenlete szerint \(\displaystyle a=3\) vagy \(\displaystyle a=-1\), illetve \(\displaystyle c=0\) vagy \(\displaystyle c=2\).

Az innen kapható négy számpár közül az \(\displaystyle a=-1\)-et tartalmazó két pár a feltétel miatt nem ad megoldást. Az \(\displaystyle a=3\), \(\displaystyle c=0\) számpár sem megoldás, mert ellentmond az eredeti egyenletrendszer harmadik egyenletének.

Az \(\displaystyle a=3\), \(\displaystyle c=2\) számpárból \(\displaystyle b=5\) adódik, és az \(\displaystyle a=3\), \(\displaystyle b=5\), \(\displaystyle c=2\) számhármas kielégíti mindhárom kiinduló egyenletet.

Minden esetet megvizsgáltunk és azt kaptuk, hogy az egyenletrendszer mindhárom egyenletét csak az

\(\displaystyle a=0, \quad b=0, \quad c=0; \qquad\qquad a=3, \quad b=5,\quad c=2 \)

számhármasok elégítik ki.

(A honlapon látható 1. megoldás)

2. megoldás. Kifejezzük \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értékét \(\displaystyle c\) segítségével. Az első egyenletből \(\displaystyle {a\!=\!b\!-\!c}\), ahonnan a harmadik egyenlet segítségével \(\displaystyle b-c+b=c^3\), azaz \(\displaystyle 2b=c^3+c\), és ezért

A (4) kifejezéseket visszahelyettesítjük az egyenletrendszer második egyenletébe:

\(\displaystyle \left(\frac{c^3-c}{2}\right)^3-c=\left(\frac{c^3+c}{2}\right)^2, \)

ahonnan a műveletek elvégzésével és rendezéssel

\(\displaystyle \frac{c^9-3c^7+3c^5-c^3}{8}-c=\frac{c^6+2c^4+c^2}{4}, \)

ebből \(\displaystyle 8\)-cal való szorzással és nullára rendezéssel

Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy az (5) egyenletnek \(\displaystyle c=0\) és \(\displaystyle c=2\) megoldása, amiből polinomosztás segítségével

következik.

A (6) összefüggésben látható zárójeles kifejezés értéke legalább \(\displaystyle 4\) bármely \(\displaystyle c\) természetes szám esetén, ezért nem lehet \(\displaystyle 0\). Eszerint csakis \(\displaystyle c=0\) és \(\displaystyle c=2\) lehetséges. A kapott két számnak (4)-be való helyettesítésével adódik az egyenletrendszer két megoldása:

\(\displaystyle a=0,\quad b=0,\quad c=0;\qquad\qquad a=2,\quad b=5,\quad c=2. \)

Az eredeti egyenletrendszer egyenleteibe helyettesítve ellenőrizhetjük, hogy ez a két számhármas valóban megoldása az egyenletrendszernek.

Kallós Klára (Nyíregyháza, Szent Imre Kat. Gimn., Ált. Isk., 7. o. t.)

Megjegyzés. A helyes és teljes megoldások jelentős része a 2. megoldás valamilyen változatának megfelelő volt, a versenyzők közül néhányan az 1. megoldáshoz hasonló dolgozatot adtak be.

A feladatra 189 megoldás érkezett, ebből 35 dolgozat a maximális 5 pontot, 17 dolgozat 4, 12 dolgozat 3, 40 dolgozat 2 pontot, 64 dolgozat 1, végül 19 dolgozat 0 pontot kapott. Két beküldött munkára a javító a „nem versenyszerű” minősítést adta. A születési dátum, vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt 14 versenyző pontszáma nem számított bele a pontversenybe.