Szerk
C. 1853. Néhány kutató egy virágos homokgyepen zümmögő poszméhek ötvenfős csapatát figyeli. Izgatottan állapítják meg, hogy a poszméhek mindegyike pontosan négyféle virágról gyűjtött virágport, mielőtt továbbrepült volna. Sőt, még azt is feljegyezték, hogy mindegyik poszméh különböző négyest választott, de mind az \(\displaystyle 50\) poszméh meglátogatott egy buglyos fátyolvirágot. Bizonyítsuk be, hogy összesen legalább 9-féle virágról gyűjtöttek a poszméhek.
Javasolta:Paulovics ZoltánBudapest
Megoldás. Legyen a virágok száma a fátyolvirágon kívül \(\displaystyle n\). Ha a poszméhek valóban különböző virágnégyestől gyűjtik a virágporaikat, akkor összesen \(\displaystyle \binom{n}{3}\) virágnégyest látogathatnak meg (hiszen a fátyolvirág porait mind begyűjtötték), ami így nem lehet kevesebb mint a poszméhek száma. Avagy
\(\displaystyle \binom {n}{3}\geq50.\)
Ha \(\displaystyle 8\) virág lenne, akkor (\(\displaystyle n=8-1=7\) miatt) \(\displaystyle \binom{7}{3}=35<50\) lenne. És mivel \(\displaystyle \binom {n}{3}\leq\binom{n+1}{3}\) \(\displaystyle (n\geq3)\)-ra, ezért kevesebb virág esetén sem lehetnének meg a különböző \(\displaystyle 4\)-esek. Tehát \(\displaystyle n \geq 8\). Ha \(\displaystyle 9\) virág lenne (tehát \(\displaystyle n=8\)), akkor \(\displaystyle \binom{8}{3}=56\geq50\). Azaz \(\displaystyle 9\) virág valóban a minimális virágszám, ahonnan a poszméhek virágport gyűjthettek ily módon.
Farkas AndrásJászberény, Lehel Vezér Gimn., 11. o. t.dolgozata alapján
187 dolgozat érkezett. 5 pontos 165, 4 pontos 19, 3 pontos 1, 1 pontos 2.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
B. 5472. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögben \(\displaystyle AB=BC=CD\). Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle BCD\sphericalangle=2DAB\sphericalangle\), akkor \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2CDA\sphericalangle\).
Javasolta: Kós Géza (Budapest) és Vígh Viktor (Sándorfalva)
C. 1865. Az iskolai szkanderbajnokságon \(\displaystyle 17\) fő indult el. Mindenki pontosan egyszer mérkőzött meg mindenkivel, döntetlen nem született. A versenyzők egy csoportját erősnek hívjuk, ha teljesül rájuk, hogy bármely rajtuk kívüli versenyzőt legyőzött közülük valaki. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható legfeljebb \(\displaystyle 9\) fős erős csoport.
Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
