Szerk
C. 1853. Néhány kutató egy virágos homokgyepen zümmögő poszméhek ötvenfős csapatát figyeli. Izgatottan állapítják meg, hogy a poszméhek mindegyike pontosan négyféle virágról gyűjtött virágport, mielőtt továbbrepült volna. Sőt, még azt is feljegyezték, hogy mindegyik poszméh különböző négyest választott, de mind az \(\displaystyle 50\) poszméh meglátogatott egy buglyos fátyolvirágot. Bizonyítsuk be, hogy összesen legalább 9-féle virágról gyűjtöttek a poszméhek.
Javasolta:Paulovics ZoltánBudapest
Megoldás. Legyen a virágok száma a fátyolvirágon kívül \(\displaystyle n\). Ha a poszméhek valóban különböző virágnégyestől gyűjtik a virágporaikat, akkor összesen \(\displaystyle \binom{n}{3}\) virágnégyest látogathatnak meg (hiszen a fátyolvirág porait mind begyűjtötték), ami így nem lehet kevesebb mint a poszméhek száma. Avagy
\(\displaystyle \binom {n}{3}\geq50.\)
Ha \(\displaystyle 8\) virág lenne, akkor (\(\displaystyle n=8-1=7\) miatt) \(\displaystyle \binom{7}{3}=35<50\) lenne. És mivel \(\displaystyle \binom {n}{3}\leq\binom{n+1}{3}\) \(\displaystyle (n\geq3)\)-ra, ezért kevesebb virág esetén sem lehetnének meg a különböző \(\displaystyle 4\)-esek. Tehát \(\displaystyle n \geq 8\). Ha \(\displaystyle 9\) virág lenne (tehát \(\displaystyle n=8\)), akkor \(\displaystyle \binom{8}{3}=56\geq50\). Azaz \(\displaystyle 9\) virág valóban a minimális virágszám, ahonnan a poszméhek virágport gyűjthettek ily módon.
Farkas AndrásJászberény, Lehel Vezér Gimn., 11. o. t.dolgozata alapján
187 dolgozat érkezett. 5 pontos 165, 4 pontos 19, 3 pontos 1, 1 pontos 2.
C. 1844 Ági pirossal, Laci kékkel színezgeti egy \(\displaystyle n \times n\)-es (\(\displaystyle n>1\)) fehér táblázat mezőit, amely \(\displaystyle i\)-edik sorának \(\displaystyle j\)-edik mezőjét \(\displaystyle (i;j)\)-vel jelöljük. Első lépésben Ági pirosra festi a főátló (bal felsőtől a jobb alsóig) mezőit. Ezután felváltva jönnek: ha Laci \(\displaystyle (i;j)\)-t színezi, akkor Ági \(\displaystyle (j;i)\)-t. Minden mezőt pontosan egyszer színeznek be. A \(\displaystyle k\)-adik sort különlegesnek hívjuk, ha bármely kék \(\displaystyle (k;j)\) esetén létezik \(\displaystyle l\), hogy \(\displaystyle (k;l)\) és \(\displaystyle (l;j)\) is piros. Bizonyítsuk be, hogy a színezgetés végeztével Ági talál különleges sort.
Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
B. 5472. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögben \(\displaystyle AB=BC=CD\). Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle BCD\sphericalangle=2DAB\sphericalangle\), akkor \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2CDA\sphericalangle\).
Javasolta: Kós Géza (Budapest) és Vígh Viktor (Sándorfalva)
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
