Szerk
G. 891. Egy dominó alakú hasábot készítünk valamilyen gyengén vezető anyagból. A méretek: \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{cm}\times 3~\mathrm{cm}\times 6~\mathrm{cm}\). Megmérjük a dominó elektromos ellenállását úgy, hogy az egymással szemben lévő oldalai között folyjon az áram. A csatlakozásokat úgy alakítjuk ki, hogy a dominókban az áramsűrűség homogén legyen. A feszültségeket úgy választjuk meg, hogy az áramsűrűség nagysága mindhárom esetben megegyezzen.
a) Hogy aránylik egymáshoz a három mért ellenállás?
b) Hogy aránylik egymáshoz az alkalmazott három feszültség?
c) Hogy aránylik egymáshoz a három esetben a másodpercenként felszabaduló Joule-hő?
(4 pont)
Megoldás. A dominó méretei: \(\displaystyle a=0{,}5~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle b=3~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle c=6~\mathrm{cm}\).
a) Az ellenállás a dominó méreteinek és fajlagos ellenállásának függvényében:
\(\displaystyle R=\varrho\frac{\ell}{A}, \)
ahol \(\displaystyle \varrho\) a fajlagos ellenállás, \(\displaystyle \ell\) az áram irányával párhuzamos méret és \(\displaystyle A\) az erre merőleges keresztmetszet. A három különböző esetben az ellenállás – rendre a legkisebb, a közepes és a legnagyobb területű lapok közt mérve:
Az ellenállások aránya:
\(\displaystyle R_1:R_2:R_3=4:1:\tfrac{1}{36}=144:36:1. \)
b) Az áramsűrűség az áramerősség és a keresztmetszet hányadosa:
\(\displaystyle j=\frac{I}{A}, \)
amely a feladat szövege szerint mindhárom esetben ugyanakkora. A dominókra kapcsolt feszültség az Ohm-törvény alapján:
\(\displaystyle U=RI=RjA=\varrho\frac{\ell}{A}\cdot jA=\varrho j\ell. \)
A három különböző esetben a dominóra kapcsolt feszültség – ismét rendre a legkisebb, a közepes és a legnagyobb területű lapok közt mérve:
A feszültségek aránya:
\(\displaystyle U_1:U_2:U_3=6:3:\tfrac{1}{2}=12:6:1. \)
c) A felszabaduló Joule-hő:
\(\displaystyle P=\frac{U^2}{R}=\frac{(\varrho j\ell)^2}{\varrho\frac{\ell}{A}}=\varrho j^2\ell A=\varrho j^2V, \)
ahol \(\displaystyle V=\ell A\) a dominó térfogata. Tehát a teljesítmény független attól, hogy melyik lappár között mérünk:
\(\displaystyle P_1:P_2:P_3=1:1:1. \)
Megjegyzés. Az a) és b) részek eredményeiből is ugyanerre jutunk, hiszen
és így a teljesítmények aránya ugyanúgy:
\(\displaystyle P_1:P_2:P_3=9:9:9=1:1:1. \)
Szighardt Anna (Révkomárom, Selye János Gimn., 9. évf.)
23 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 2, hiányos (1–2 pont) 5 dolgozat.
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
