A G. 896. fizika gyakorlat megoldása

Szerk

G. 896. Öt ellenállást kapcsolunk az ábra szerint egy 24 V-os feszültségforrás \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) kimenetére. Az ellenállások: \(\displaystyle R_1=40~\Omega\), \(\displaystyle R_2=50~\Omega\), \(\displaystyle R_3=R_4=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_5=20~\Omega\).

a) Határozzuk meg az áramkör eredő ellenállását a kapcsoló zárt és nyitott állásában!

b) Mennyivel változik meg az \(\displaystyle R_4\) ellenállás teljesítménye, ha a zárt kapcsolót kinyitjuk?

(4 pont)

Közli: Veres Dénes, Szolnok

Megoldás. a) Ha a K kapcsoló nyitva van, akkor az \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások sorba vannak kötve, és az \(\displaystyle R_1\) ellenállás pedig velük párhuzamosan. Így nyitott kapcsoló esetében az eredő ellenállás:

\(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=R_1\times(R_2+R_3+R_4)=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}=\frac{40\cdot 70}{40+70}~\Omega=25{,}5~\Omega. \)

(Itt a \(\displaystyle \times\) jel a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok összegének reciprokát írja le röviden.)

Zárt kapcsoló esetén a kapcsolás bonyolultabb, az áttekinthetőség érdekében érdemes átrajzolni (ábra a túloldalon).

A soros és párhuzamos kapcsolások egymásutánja alapján az eredő ellenállás:

\(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=R_1\times(R_2+R_5\times(R_3+R_4)). \)

Ez kifejtve nagyon bonyolult képlet, érdemes több lépésben kiszámítani:

Az eredő ellenállás tehát zárt kapcsoló esetén \(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=24~\Omega\), nyitott kapcsolónál pedig \(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=25{,}5~\Omega\), tehát a kapcsoló kinyitásakor kis mértékben megnövekszik.

b) Mindkét esetben meghatározzuk az \(\displaystyle R_4\) ellenálláson eső feszültséget, és aztán abból a rajta disszipálódó teljesítményt. Nyitott kapcsoló esetén a sorba kapcsolt \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállásokon \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültség esik, így az \(\displaystyle R_4\) ellenállásra eső feszültség a feszültségosztó képlet alapján:

\(\displaystyle U_{4,\mathrm{ny}}=\frac{R_4}{R_2+R_3+R_4}~U=\frac{10}{50+10+10}\cdot 24~\mathrm{V}=3{,}43~\mathrm{V}. \)

Zárt kapcsoló esetén az \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültséget először az egymással sorba kapcsolt \(\displaystyle R_5\times(R_3+R_4)=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_2=50~\Omega\) között kell elosztani:

\(\displaystyle U_{345,\mathrm{z}}=\frac{R_5\times(R_3+R_4)}{R_2+R_5\times(R_3+R_4)}~U=\frac{10}{50+10}\cdot 24~\mathrm{V}=4~\mathrm{V}, \)

majd ezt kell tovább osztani a sorosan kapcsolt \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások között. Ezek egyforma nagyságúak, így a feszültség feleződik:

\(\displaystyle U_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{345,\mathrm{z}}}{2}=2~\mathrm{V}. \)

Az ellenálláson disszipálódó teljesítmény nyitott kapcsolónál:

\(\displaystyle P_{4,\mathrm{ny}}=\frac{U_{4,\mathrm{ny}}^2}{R_4}\approx 1{,}2~\mathrm{W}, \)

zárt kapcsolónál pedig:

\(\displaystyle P_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{4,\mathrm{z}}^2}{R_4}=0{,}40~\mathrm{W}. \)

A teljesítmény tehát közel háromszorosára növekszik a kapcsoló kinyitásakor.

Blaskovics Bálint (Budapest, NKE Óbudai Árpád Gimn., 9. évf.)

49 dolgozat érkezett. Helyes 23 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 17, hibás 5 dolgozat.