Szerk
G. 896. Öt ellenállást kapcsolunk az ábra szerint egy 24 V-os feszültségforrás \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) kimenetére. Az ellenállások: \(\displaystyle R_1=40~\Omega\), \(\displaystyle R_2=50~\Omega\), \(\displaystyle R_3=R_4=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_5=20~\Omega\).
a) Határozzuk meg az áramkör eredő ellenállását a kapcsoló zárt és nyitott állásában!
b) Mennyivel változik meg az \(\displaystyle R_4\) ellenállás teljesítménye, ha a zárt kapcsolót kinyitjuk?
(4 pont)
Közli: Veres Dénes, Szolnok
Megoldás. a) Ha a K kapcsoló nyitva van, akkor az \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások sorba vannak kötve, és az \(\displaystyle R_1\) ellenállás pedig velük párhuzamosan. Így nyitott kapcsoló esetében az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=R_1\times(R_2+R_3+R_4)=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}=\frac{40\cdot 70}{40+70}~\Omega=25{,}5~\Omega. \)
(Itt a \(\displaystyle \times\) jel a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok összegének reciprokát írja le röviden.)
Zárt kapcsoló esetén a kapcsolás bonyolultabb, az áttekinthetőség érdekében érdemes átrajzolni (ábra a túloldalon).
A soros és párhuzamos kapcsolások egymásutánja alapján az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=R_1\times(R_2+R_5\times(R_3+R_4)). \)
Ez kifejtve nagyon bonyolult képlet, érdemes több lépésben kiszámítani:
Az eredő ellenállás tehát zárt kapcsoló esetén \(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=24~\Omega\), nyitott kapcsolónál pedig \(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=25{,}5~\Omega\), tehát a kapcsoló kinyitásakor kis mértékben megnövekszik.
b) Mindkét esetben meghatározzuk az \(\displaystyle R_4\) ellenálláson eső feszültséget, és aztán abból a rajta disszipálódó teljesítményt. Nyitott kapcsoló esetén a sorba kapcsolt \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállásokon \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültség esik, így az \(\displaystyle R_4\) ellenállásra eső feszültség a feszültségosztó képlet alapján:
\(\displaystyle U_{4,\mathrm{ny}}=\frac{R_4}{R_2+R_3+R_4}~U=\frac{10}{50+10+10}\cdot 24~\mathrm{V}=3{,}43~\mathrm{V}. \)
Zárt kapcsoló esetén az \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültséget először az egymással sorba kapcsolt \(\displaystyle R_5\times(R_3+R_4)=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_2=50~\Omega\) között kell elosztani:
\(\displaystyle U_{345,\mathrm{z}}=\frac{R_5\times(R_3+R_4)}{R_2+R_5\times(R_3+R_4)}~U=\frac{10}{50+10}\cdot 24~\mathrm{V}=4~\mathrm{V}, \)
majd ezt kell tovább osztani a sorosan kapcsolt \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások között. Ezek egyforma nagyságúak, így a feszültség feleződik:
\(\displaystyle U_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{345,\mathrm{z}}}{2}=2~\mathrm{V}. \)
Az ellenálláson disszipálódó teljesítmény nyitott kapcsolónál:
\(\displaystyle P_{4,\mathrm{ny}}=\frac{U_{4,\mathrm{ny}}^2}{R_4}\approx 1{,}2~\mathrm{W}, \)
zárt kapcsolónál pedig:
\(\displaystyle P_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{4,\mathrm{z}}^2}{R_4}=0{,}40~\mathrm{W}. \)
A teljesítmény tehát közel háromszorosára növekszik a kapcsoló kinyitásakor.
Blaskovics Bálint (Budapest, NKE Óbudai Árpád Gimn., 9. évf.)
49 dolgozat érkezett. Helyes 23 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 17, hibás 5 dolgozat.
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
