Szerk
G. 896. Öt ellenállást kapcsolunk az ábra szerint egy 24 V-os feszültségforrás \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) kimenetére. Az ellenállások: \(\displaystyle R_1=40~\Omega\), \(\displaystyle R_2=50~\Omega\), \(\displaystyle R_3=R_4=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_5=20~\Omega\).
a) Határozzuk meg az áramkör eredő ellenállását a kapcsoló zárt és nyitott állásában!
b) Mennyivel változik meg az \(\displaystyle R_4\) ellenállás teljesítménye, ha a zárt kapcsolót kinyitjuk?
(4 pont)
Közli: Veres Dénes, Szolnok
Megoldás. a) Ha a K kapcsoló nyitva van, akkor az \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások sorba vannak kötve, és az \(\displaystyle R_1\) ellenállás pedig velük párhuzamosan. Így nyitott kapcsoló esetében az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=R_1\times(R_2+R_3+R_4)=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}=\frac{40\cdot 70}{40+70}~\Omega=25{,}5~\Omega. \)
(Itt a \(\displaystyle \times\) jel a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok összegének reciprokát írja le röviden.)
Zárt kapcsoló esetén a kapcsolás bonyolultabb, az áttekinthetőség érdekében érdemes átrajzolni (ábra a túloldalon).
A soros és párhuzamos kapcsolások egymásutánja alapján az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=R_1\times(R_2+R_5\times(R_3+R_4)). \)
Ez kifejtve nagyon bonyolult képlet, érdemes több lépésben kiszámítani:
Az eredő ellenállás tehát zárt kapcsoló esetén \(\displaystyle R_{\mathrm{z}}=24~\Omega\), nyitott kapcsolónál pedig \(\displaystyle R_{\mathrm{ny}}=25{,}5~\Omega\), tehát a kapcsoló kinyitásakor kis mértékben megnövekszik.
b) Mindkét esetben meghatározzuk az \(\displaystyle R_4\) ellenálláson eső feszültséget, és aztán abból a rajta disszipálódó teljesítményt. Nyitott kapcsoló esetén a sorba kapcsolt \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállásokon \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültség esik, így az \(\displaystyle R_4\) ellenállásra eső feszültség a feszültségosztó képlet alapján:
\(\displaystyle U_{4,\mathrm{ny}}=\frac{R_4}{R_2+R_3+R_4}~U=\frac{10}{50+10+10}\cdot 24~\mathrm{V}=3{,}43~\mathrm{V}. \)
Zárt kapcsoló esetén az \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) feszültséget először az egymással sorba kapcsolt \(\displaystyle R_5\times(R_3+R_4)=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_2=50~\Omega\) között kell elosztani:
\(\displaystyle U_{345,\mathrm{z}}=\frac{R_5\times(R_3+R_4)}{R_2+R_5\times(R_3+R_4)}~U=\frac{10}{50+10}\cdot 24~\mathrm{V}=4~\mathrm{V}, \)
majd ezt kell tovább osztani a sorosan kapcsolt \(\displaystyle R_3\) és \(\displaystyle R_4\) ellenállások között. Ezek egyforma nagyságúak, így a feszültség feleződik:
\(\displaystyle U_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{345,\mathrm{z}}}{2}=2~\mathrm{V}. \)
Az ellenálláson disszipálódó teljesítmény nyitott kapcsolónál:
\(\displaystyle P_{4,\mathrm{ny}}=\frac{U_{4,\mathrm{ny}}^2}{R_4}\approx 1{,}2~\mathrm{W}, \)
zárt kapcsolónál pedig:
\(\displaystyle P_{4,\mathrm{z}}=\frac{U_{4,\mathrm{z}}^2}{R_4}=0{,}40~\mathrm{W}. \)
A teljesítmény tehát közel háromszorosára növekszik a kapcsoló kinyitásakor.
Blaskovics Bálint (Budapest, NKE Óbudai Árpád Gimn., 9. évf.)
49 dolgozat érkezett. Helyes 23 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 17, hibás 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
M. 445. Mérjük meg, hogy egy adott granuláris anyagnak (pl. rizs, gersli stb.) mekkora a térkitöltése! Mennyire függ ez a rendszer preparálásától (pl.: tömörítés, rázogatás stb.)?
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
