Szerk
P. 5632. Egy nagy méretű fémlemez egyik oldalán egy \(\displaystyle Q\) és egy \(\displaystyle -Q\) töltésű, pontszerűnek tekinthető golyócska van, egymástól \(\displaystyle d\), a lemeztől \(\displaystyle d/2\) távolságra. Mekkora munkával tudjuk a töltéseket
a) a lemez síkjával párhuzamosan mozgatva egymástól nagyon messzire eltávolítani,
b) a lemezre merőlegesen mozgatva a lemeztől nagyon messzire (azonos távolságra) elmozdítani,
c) a lemeztől és egymástól is nagyon messzire vinni?
(5 pont)
Közli: Cserti József, (Budapest)
Megoldás.
1. ábra
A fémlemezen az odahelyezett töltések hatására kialakuló bonyolult töltéselosztást helyettesíthetjük a fémlemez túloldalán szimmetrikusan elhelyezett ellentétes előjelű töltésekkel, úgynevezett tükörtöltésekkel. Az eredeti elrendezés az 1. ábrán látható, de ehhez hasonlóan elkészíthetjük a három elmozdított elrendezés megfelelőjét is.
Az így átalakított töltéselrendezés teljes elektrosztatikus energiáját kiszámíthatjuk az egyes töltések között páronként meghatározott Coulomb-energiák összegeként – a kezdeti állapotban és a három végállapotban is. Azonban az így kiszámított energiák az erővonalkép szimmetriája miatt (2. ábra) a valóságos energiáknak pontosan a kétszeresét adják, hiszen a valóságban csak a fémlemez egyik oldalán van térerősség (ahol a valódi töltések vannak), a lemez túloldalán nincsen. (Ott a térerősség nulla, és így elektrosztatikus energia sincsen.)
2. ábra
Az eredeti elrendezés energiája (négy \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű szomszéd és két \(\displaystyle \sqrt{2}d\) távolságra lévő, azonos előjelű átlós pár, az \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\)-es szorzót is figyelembe véve):
\(\displaystyle {\cal E}_0=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-4}{d}+\frac{2}{\sqrt{2}d}\right)=\frac{kQ^2}{d}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-2\right). \)
Az a) és b) esetben az energia (két \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű pár):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{a}}={\cal E}_{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-2}{d}\right)=\frac{-kQ^2}{d}, \)
a c) esetben pedig (minden töltés nagyon messze van egymástól):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{c}}=0. \)
A töltések eltávolítása közben végzett munka mindhárom esetben az elektrosztatikus energia megváltozását (növelését) fedezi:
Vértesi Janka (Debreceni Ady E. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
6 dolgozat érkezett. Helyes megoldás nem volt. Kicsit hiányos (4 pont) 4, hiányos (2–3 pont) 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
