A P. 5634. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5634. Egy rajztábla és egy rajta nyugvó könyv között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu\). A rajztábla egyik szélét lassan emeljük.

a) Mekkora \(\displaystyle \alpha\) hajlásszög esetén csúszik meg a könyv?

b) Mekkora a tábla \(\displaystyle 2\alpha\) hajlásszögű helyzetében a lecsúszó könyv gyorsulása?

c) Mekkora az a legkisebb vízszintes gyorsulás, amivel a \(\displaystyle 2\alpha\) hajlásszögű táblát előre kellene tolni ahhoz, hogy a könyv ne csússzon meg?

A csúszási és a tapadási súrlódási együtthatót tekintsük egyenlőnek. Az eredményeket \(\displaystyle \mu\) és \(\displaystyle g\) segítségével adjuk meg.

(5 pont)

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

I. megoldás. a) Egyensúly akkor áll fenn, ha a lejtővel párhuzamos és a lejtőre merőleges erők eredője is nulla. Az \(\displaystyle mg\) nehézségi erőt lejtővel párhuzamos és lejtőre merőleges komponensekre bontva, a nyomóerőt \(\displaystyle N_1\)-nel, a súrlódási erőt \(\displaystyle S_1\)-sel jelölve:

Határesetben

\(\displaystyle S_1=\mu N_1, \)

ezt az első egyenlet jobb oldalába beírva, majd \(\displaystyle N_1\) értékét a második egyenletből kifejezve kapjuk:

\(\displaystyle mg\sin\alpha=\mu mg\cos\alpha, \)

amiből

\(\displaystyle \tg\alpha=\mu \)

és

\(\displaystyle \alpha=\arctg\mu. \)

b) Jelölje a könyv keresett gyorsulását a megadott helyzetben \(\displaystyle a\). Felírhatjuk a lejtővel párhuzamos irányban a dinamika alapegyenletét:

\(\displaystyle ma=mg\sin 2\alpha-S_2=mg\sin 2\alpha-\mu mg\cos 2\alpha, \)

ahol felhasználtuk, hogy az a) részben követett gondolatmenet alapján a súrlódási erő most:

\(\displaystyle S_2=\mu N_2=\mu mg\cos 2\alpha. \)

A \(\displaystyle \mu=\tg\alpha\) eredmény behelyettesítése és egyszerűsítés után:

\(\displaystyle a=g(\sin 2\alpha-\tg\alpha\cos 2\alpha). \)

A kétszeres szögek szögfüggvényeire ismert összefüggések:

\(\displaystyle \sin 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha},\qquad\cos 2\alpha=\frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}. \)

Ezeket beírva és rendezve:

\(\displaystyle a=g\left(\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}-\tg\alpha\,\frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}\right)=g\,\frac{\tg\alpha+\tg^3\alpha}{1+\tg^2\alpha}=g\tg\alpha=\mu g. \)

Tehát a könyv gyorsulása ekkor \(\displaystyle a=\mu g\).

1. ábra

c) Legyen a tábla minimális gyorsulása \(\displaystyle a_0\). Vizsgáljuk a mozgást a lejtőhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben, ebben a könyv nyugalomban van. Ugyanakkor, mivel nem inerciarendszerben dolgozunk, fel kell vennünk egy, a tábla gyorsulásával ellentétes irányú, \(\displaystyle ma_0\) nagyságú tehetetlenségi erőt is (1. ábra). Az előbbieknek megfelelően ezt is lejtővel párhuzamos és lejtőre merőleges komponensekre bontjuk.

Az egyensúly feltétele a megcsúszás határánál (a tábla minimális gyorsulásánál):

Ebből az a) részhez hasonlóan:

\(\displaystyle mg\sin 2\alpha-ma_0\cos 2\alpha=\mu(mg\cos 2\alpha+ma_0\sin 2\alpha), \)

amelyből rendezve:

\(\displaystyle a_0(\mu\sin 2\alpha+\cos 2\alpha)=g(\sin 2\alpha-\mu\cos 2\alpha). \)

Ismét felhasználva a \(\displaystyle \mu=\tg\alpha\) egyenlőséget és a kétszeres szögek szögfüggvényeire már használt összefüggéseket:

\(\displaystyle a_0\left(\tg\alpha\,\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}+\frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}\right)=g\left(\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}-\tg\alpha\,\frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}\right), \)

majd mindkét oldalon közös nevezőre hozva, összevonva és egyszerűsítve:

\(\displaystyle a_0=g\tg\alpha=\mu g. \)

A táblát tehát legalább \(\displaystyle a_0=\mu g\) gyorsulással kell előre tolni ahhoz, hogy a könyv ne csússzon meg.

Klement Tamás (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 12. évf.)

Megjegyzések. 1. A feladatnak csak akkor van értelme, ha \(\displaystyle 2\alpha<90^\circ\), és így \(\displaystyle \mu<1\).

2. A feladat c) része megoldható inerciarendszerben is: ilyenkor a három erő a könyvet \(\displaystyle a_0\) gyorsulással gyorsítja vízszintesen (hogy ne mozogjon a lejtőhöz képest). Ekkor az erőket célszerű vízszintes és függőleges komponensekre bontani. A mozgásegyenletek:

amelyből a minimális gyorsulásra ugyanazt az eredményt kapjuk.

3. A feladat a lejtő legkisebb gyorsulását keresi, de meghatározhatjuk a legnagyobb gyorsulást is, amely esetében a könyv nem csúszik meg. Ekkor a súrlódási erő nagysága szintén maximális, de iránya ellentétes (hiszen azt kell megakadályoznia, hogy a könyv felfelé megcsússzon). Ekkor az egyensúly feltétele (a lejtővel együtt gyorsuló vonatkoztatási rendszerben):

amiből a tábla maximális gyorsulása:

\(\displaystyle a_0'=\frac{\sin 2\alpha+\mu\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha-\mu\sin 2\alpha}g=\frac{\mu(3-\mu^2)}{1-3\mu^2}g. \)

A képlet \(\displaystyle \mu>\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) esetben negatív értéket ad, de ez hibás eredmény, mert a tapadó súrlódás nem tudja elindítani a könyvet – ilyenkor a súrlódási erő nagysága kisebb lesz a maximális értéknél. Ezt el lehetett volna kerülni, ha az egyenletrendszer harmadik egyenlete helyett egyenlőtlenséget írunk: \(\displaystyle 0\leq S_3'\leq\mu N_3'\).

Látható, ha \(\displaystyle \mu\geq\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) (azaz \(\displaystyle \alpha\geq 30^\circ\), \(\displaystyle 2\alpha\geq 60^\circ\)), akkor a gyorsulás végtelen nagy lehet, a könyv ,,befeszül'', ,,rátapad'' a lejtőre.

II. megoldás. A megcsúszás határán a nyomóerő és a súrlódási erő eredője a felület normálisával \(\displaystyle \varepsilon\) szöget zár be, ez a megcsúszás határszöge. Mivel a súrlódási erő nagysága ekkor éppen a nyomóerő nagyságának \(\displaystyle \mu\)-szöröse, és a két erő merőleges egymásra, \(\displaystyle \tg\varepsilon=\mu\).

2. ábra

a) A könyvre a nehézségi erő és a rajztábla felülete által kifejtett kényszererő hat (2. ábra). A két erő csak akkor lehet egyensúlyban, ha irányuk (és nagyságuk) megegyezik. Ez alapján:

\(\displaystyle \alpha=\varepsilon=\arctg\mu. \)

b) A könyvre most is csak a nehézségi erő és a kényszererő hat (amelynek a nagysága természetesen nem egyezik meg az a) részben szereplővel: akkorának kell lennie, hogy a lejtőre (rajztáblára) merőleges komponense kiegyenlítse a nehézségi erő lejtőre merőleges komponensét). Ezek eredőjének a felülettel párhuzamosnak kell lennie: ez az eredő erő hozza létre a könyv keresett lejtőirányú gyorsulását. A 3. ábrán berajzoltuk a könyvre ható erőket és ezek eredőjét is: ez utóbbi végpontját a kényszererő hatásvonala metszi ki a lejtővel párhuzamos egyenesből. Bejelöltünk szögeket, és megrajzoltunk néhány egyenest: látható, hogy az alul keletkező kis háromszög egyenlőszárú, és így a vízszintes szára is \(\displaystyle ma\) hosszúságú. Ezután már a 3. ábráról leolvashatjuk:

\(\displaystyle ma=mg\tg\alpha\qquad\Rightarrow\qquad a=g\tg\alpha=\mu g. \)

3. ábra

c) A mozgást vizsgáljuk a lejtővel együtt gyorsuló vonatkoztatási rendszerben. Legyen a lejtő minimális gyorsulása \(\displaystyle a_0\). Ekkor egy vízszintes, \(\displaystyle ma_0\) nagyságú tehetetlenségi erő hatását is figyelembe kell venni (amely a lejtő gyorsulásával ellentétes irányba mutat). Az erőnek akkorának kell lennie, hogy kiegyenlítse a nehézségi erő és a kényszererő eredőjét. A legkisebb ilyen gyorsulást keressük, ezért a kényszererő most is az eddigi, ,,éppen nem csúszik meg lefele'' határhelyzetben van. A 4. ábrán láthatjuk, hogy a kényszererő hatásvonala kimetszi az \(\displaystyle ma_0\) erő végpontját (és egyben meghatározza \(\displaystyle K_3\) nagyságát is, de arra a feladat megoldásához nincs szükségünk). Az ábráról közvetlenül leolvasható a lejtő keresett legkisebb gyorsulása:

\(\displaystyle ma_0=mg\tg\alpha\qquad\Rightarrow\qquad a_0=g\tg\alpha=\mu g. \)

4. ábra  

46 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 23, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.