Szerk
P. 5635. A nyújtón az óriáskör bemutatásánál a tornász éppen átbillen a felső függőleges helyzetén. Amikor alulra ér, az acélrúd láthatóan meghajlik. Modellezzük a tornászt egy vékony, súlyos, homogén rúddal, ami vízszintes tengely körül forog. Ha a rúd a felső állásából az alsóba ér, akkor a súlyának hányszorosával húzza a tengelyt? (A súrlódást, közegellenállást, a tengely behajlását a rúd hosszához képest hanyagoljuk el.)
(4 pont)
Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár
Megoldás. Modellezzük a tornászt egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, \(\displaystyle m\) tömegű vékony rúddal. Ha a tornász a felső függőleges helyzeten éppen átbillen, akkor ott a szögsebessége 0, az alsó helyzetben pedig legyen \(\displaystyle \omega\). A tömegközéppontja éppen \(\displaystyle \ell\)-lel került lejjebb az óriáskör során. A mechanikai energia megmaradása alapján:
\(\displaystyle mg\ell=\frac{1}{2}\Theta\omega^2, \)
ahol
\(\displaystyle \Theta=\frac{1}{3}m\ell^2 \)
a vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka a végpontján átmenő, a rúdra merőleges tengelyre vonatkoztatva. Ebből
\(\displaystyle \omega^2=\frac{6g}{\ell}. \)
Alsó állásban a tömegközéppontját a ráható erők – a tengely által kifejtett \(\displaystyle K\) erő és az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő – eredője gyorsítja (tartja körpályán):
\(\displaystyle K-mg=ma_{\mathrm{cp}}=m\omega^2\frac{\ell}{2}. \)
Ebből a tengely által kifejtett kényszererő:
\(\displaystyle K=3mg+mg=4mg. \)
Newton harmadik törvénye értelmében a tornász is \(\displaystyle K\) erővel, tehát súlyának négyszeresével húzza lefelé a tengelyt, az emiatt hajlik meg láthatóan.
Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 10. évf.)
41 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
M. 445. Mérjük meg, hogy egy adott granuláris anyagnak (pl. rizs, gersli stb.) mekkora a térkitöltése! Mennyire függ ez a rendszer preparálásától (pl.: tömörítés, rázogatás stb.)?
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
