Szerk
P. 5636. Egy űrszonda a Föld \(\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km}/\mathrm{s}\)-os keringési sebességével ellentétes irányban, a Földhöz képest \(\displaystyle nv\) sebességgel (\(\displaystyle n<1\)) eltávolodott a Földtől. További mozgását – jó közelítéssel – csak a Nap gravitációs tere határozza meg.
a) Mekkora az űrszonda pályájának nagytengelye és a numerikus excentricitása?
b) Mekkora lehet \(\displaystyle n\), hogy a szonda maradványai eljussanak a Nap felszínéig?
(Lásd még a Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikket a honlapon.)
(5 pont)
Almár Iván feladata nyomán
Megoldás. A szonda kezdetben a \(\displaystyle v\) sebességgel mozgó Földhöz képest azzal ellentétes irányban \(\displaystyle nv\) sebességgel távolodik, így sebessége ekkor \(\displaystyle v_0=(1-n)v\) nagyságú és a Naphoz húzott sugárra merőleges irányú (tehát ekkor van a szonda a Naptól legtávolabb).
A szonda teljes mechanikai energiája (a feladatban hivatkozott cikk alapján):
\(\displaystyle E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, \)
ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M_{\odot}\) a Nap tömege, \(\displaystyle m\) a szonda tömege és \(\displaystyle a\) a pályájának félnagytengelye. \(\displaystyle \gamma\) és \(\displaystyle M_{\odot}\) értékét táblázatokból kikereshetnénk, de egyszerűbb, ha a (közel) körpályán mozgó Föld mozgásegyenletét használjuk fel:
\(\displaystyle \frac{M_{\oplus} v^2}{r_{\oplus}}=\frac{\gamma M_{\oplus} M_{\odot}}{r_{\oplus}^2}, \)
ahol \(\displaystyle M_{\oplus}\) a Föld tömege és \(\displaystyle r_{\oplus}\approx 1{,}5\cdot 10^{11}~\mathrm{m}\) a Föld pályasugara. Ebből rendezéssel:
a) A szonda mechanikai energiáját a naptávoli pontra felírva:
\(\displaystyle \frac{mv_0^2}{2}-\frac{\gamma mM_{\odot}}{r_{\oplus}}=E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, \)
amiből
Az ábráról leolvasható, hogy \(\displaystyle r_{\oplus}=a+c=a+ea=a(1+e)\), amiből a pálya keresett excentricitása:
b) A szonda maradványai akkor érik el a Nap felszínét, ha \(\displaystyle a-c\leq R_{\odot}\), ahol \(\displaystyle R_{\odot}\approx 7\cdot 10^8~\mathrm{m}\) a Nap sugara. Ez alapján (2) és (3) felhasználásával:
amiből (a feladatban szereplő \(\displaystyle n<1\) feltételt is figyelembe véve) a napfelszín elérésének feltétele:
\(\displaystyle 0{,}904\leq n<1. \)
Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory István Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 11. évf.)
15 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
