Szerk
P. 5636. Egy űrszonda a Föld \(\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km}/\mathrm{s}\)-os keringési sebességével ellentétes irányban, a Földhöz képest \(\displaystyle nv\) sebességgel (\(\displaystyle n<1\)) eltávolodott a Földtől. További mozgását – jó közelítéssel – csak a Nap gravitációs tere határozza meg.
a) Mekkora az űrszonda pályájának nagytengelye és a numerikus excentricitása?
b) Mekkora lehet \(\displaystyle n\), hogy a szonda maradványai eljussanak a Nap felszínéig?
(Lásd még a Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikket a honlapon.)
(5 pont)
Almár Iván feladata nyomán
Megoldás. A szonda kezdetben a \(\displaystyle v\) sebességgel mozgó Földhöz képest azzal ellentétes irányban \(\displaystyle nv\) sebességgel távolodik, így sebessége ekkor \(\displaystyle v_0=(1-n)v\) nagyságú és a Naphoz húzott sugárra merőleges irányú (tehát ekkor van a szonda a Naptól legtávolabb).
A szonda teljes mechanikai energiája (a feladatban hivatkozott cikk alapján):
\(\displaystyle E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, \)
ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M_{\odot}\) a Nap tömege, \(\displaystyle m\) a szonda tömege és \(\displaystyle a\) a pályájának félnagytengelye. \(\displaystyle \gamma\) és \(\displaystyle M_{\odot}\) értékét táblázatokból kikereshetnénk, de egyszerűbb, ha a (közel) körpályán mozgó Föld mozgásegyenletét használjuk fel:
\(\displaystyle \frac{M_{\oplus} v^2}{r_{\oplus}}=\frac{\gamma M_{\oplus} M_{\odot}}{r_{\oplus}^2}, \)
ahol \(\displaystyle M_{\oplus}\) a Föld tömege és \(\displaystyle r_{\oplus}\approx 1{,}5\cdot 10^{11}~\mathrm{m}\) a Föld pályasugara. Ebből rendezéssel:
a) A szonda mechanikai energiáját a naptávoli pontra felírva:
\(\displaystyle \frac{mv_0^2}{2}-\frac{\gamma mM_{\odot}}{r_{\oplus}}=E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, \)
amiből
Az ábráról leolvasható, hogy \(\displaystyle r_{\oplus}=a+c=a+ea=a(1+e)\), amiből a pálya keresett excentricitása:
b) A szonda maradványai akkor érik el a Nap felszínét, ha \(\displaystyle a-c\leq R_{\odot}\), ahol \(\displaystyle R_{\odot}\approx 7\cdot 10^8~\mathrm{m}\) a Nap sugara. Ez alapján (2) és (3) felhasználásával:
amiből (a feladatban szereplő \(\displaystyle n<1\) feltételt is figyelembe véve) a napfelszín elérésének feltétele:
\(\displaystyle 0{,}904\leq n<1. \)
Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory István Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 11. évf.)
15 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
