Szerk
P. 5645. Egy motoros \(\displaystyle 36~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel hajt be egy félkör alakú, ,,visszafordító'' kanyarba. Az aszfalt és a kerekek közötti tapadási súrlódási együttható \(\displaystyle 0{,}58\). A motoros mindvégig egy \(\displaystyle 40~\mathrm{m}\) sugarú köríven tartja járművét (pontosabban a motor és a motoros közös tömegközéppontját), és közben végig egyenletesen növeli annak sebességét.
a) Legfeljebb hány \(\displaystyle \mathrm{m}/\mathrm{s}\)-mal növelheti a motoros másodpercenként a sebességét?
b) Mekkora sebességre gyorsulhat fel a versenyző a kanyar végére?
c) Hogyan változik a motoros függőlegessel bezárt szöge a kanyarban?
(5 pont)
Közli: Kis Tamás, Heves
Megoldás. A motorosra függőleges irányban az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő és a talaj \(\displaystyle N\) nyomóereje, vízszintes irányban pedig az \(\displaystyle S\) tapadási súrlódási erő hat. A függőleges erők eredője nulla, a vízszintes erő biztosítja a motor \(\displaystyle a\) gyorsulását. A motor akkor nem csúszik meg, ha
a) és b) Az \(\displaystyle r\) sugarú körpályán mozgó motoros gyorsulása két, egymásra merőleges komponensre bontható: az érintőirányú \(\displaystyle a_{\mathrm{t}}\) komponens a feladat szövege szerint állandó, a centripetális gyorsulás viszont a sebesség növekedésével nő, hiszen
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}. \)
A motoros gyorsulása a két komponens eredője, ennek nagysága:
amely így akkor lesz a legnagyobb, amikor a sebesség a legnagyobb, tehát a ,,visszafordító kanyar'' végén. Legyen ekkor a motoros sebessége \(\displaystyle v\). A \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről egyenletesen gyorsuló motoros átlagsebessége:
\(\displaystyle v_\textrm{átl}=\frac{v+v_0}{2}, \)
az \(\displaystyle s=r\pi\) hosszúságú körív megtételéhez szükséges idő:
\(\displaystyle t=\frac{s}{v_\textrm{átl}}=\frac{2r\pi}{v+v_0}. \)
A motoros érintőirányú gyorsulása:
a teljes gyorsulása pedig (2) alapján:
\(\displaystyle a=\sqrt{\left(\frac{v^2-v_0^2}{2r\pi}\right)^2+\left(\frac{v^2}{r}\right)^2}. \)
Az (1) feltétel szerint
Határesetben ez \(\displaystyle v^2\)-re egy másodfokú egyenlet. A numerikus adatokat behelyettesítve és megoldva, majd a pozitív megoldásból gyököt vonva:
\(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\approx 15~\mathrm{m}/\mathrm{s}, \)
amiből (3) alapján a maximális érintőirányú gyorsulás (a ,,másodpercenkénti sebességnövelés maximális értéke''):
\(\displaystyle a_{\mathrm{t,max}}=\frac{v_{\mathrm{max}}^2-v_0^2}{2r\pi}\approx 0{,}5~\mathrm{m}/\mathrm{s}^2. \)
c) A motorosra a hozzá rögzített gyorsuló vonatkoztatási rendszerben tehetetlenségi erők is hatnak. A motoros bedőlése szempontjából a pályájára merőleges centrifugális erőnek van szerepe. Az ábrán látható, hogy a talajjal való érintkezési pontra vonatkoztatva a \(\displaystyle G=mg\) nehézségi erőnek és az \(\displaystyle F_{\mathrm{cf}}=m\tfrac{v^2}{r}\) centrifugális erőnek van forgatónyomatéka (az \(\displaystyle O\) ponton átmenő, a nyomóerőből és a súrlódási erőből összetevődő \(\displaystyle K\) kényszererőnek nincs).
Feltéve, hogy a folyamatosan változó sebességgel a bedőlés szöge is folyamatosan és aránylag lassan változik (a teljes kanyart \(\displaystyle t\approx 10~\mathrm{s}\) alatt teszi meg a motoros), a forgatónyomatékok egyensúlyát írjuk fel:
\(\displaystyle mg\ell\sin\alpha=m\frac{v^2}{r}\ell\cos\alpha, \)
ahol \(\displaystyle \ell\) a tömegközéppont távolsága az érintkezési ponttól és \(\displaystyle \alpha\) a motoros függőlegessel bezárt szöge. Ebből a keresett szög a sebesség függvényében:
\(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{v^2}{gr}. \)
Ez a szög a teljes visszakanyarodás közben fokozatosan \(\displaystyle \alpha_{\mathrm{min}}=\arctg\tfrac{v_0^2}{gr}\approx 14^\circ\) értékről \(\displaystyle \alpha_{\mathrm{max}}=\arctg\tfrac{v^2}{gr}\approx 30^\circ\) értékre növekszik.
Ujpál Bálint (Miskolci Herman O. Gimn., 12. évf.)
Megjegyzések. 1. Eredményeink nem függenek a tömegközéppont magasságától és a rendszer tömegétől.
2. Az ábrán csak a motoros haladási irányára merőleges síkban ható erőket ábrázoltuk. A sebességét növelő motorra a haladási irányába is hat súrlódási erő, a motoros vonatkoztatási rendszerében pedig azzal ellentétes irányba egy \(\displaystyle ma_{\mathrm{t}}\) nagyságú tehetetlenségi erőt is figyelembe kell vennünk. Ennek az erőnek a forgatónyomatéka a motort hátra akarja dönteni, amit a két kerékre ható eltérő nyomóerők forgatónyomatéka egyenlít ki. (Ha a gyorsulás nagyon nagy, akkor az első kerék meg is emelkedhet.) Ennek vizsgálatát azonban a feladat nem kéri, és a motor geometriai adatainak – a kerekek távolságának és a tömegközéppont magasságának – ismerte nélkül nem is tudnánk számításokat végezni.
25 dolgozat érkezett. Helyes Ujpál Bálint megoldása. Kicsit hiányos (3–4 pont) 9, hiányos (1–2 pont) 10, hibás 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
