Szerk
P. 5646. Űrutazást terveznek a Marsra. Az űrhajó a Földet elhagyva olyan ellipszis pályára áll, amely érinti a két bolygópályát, perihéliumába esik a felszállás, aphéliumába pedig a megérkezés. A visszaút hasonló ellipszispályán történik. Az induláshoz mindkét esetben ki kell várni, amíg a két bolygó megfelelő helyzetbe kerül. Mennyi ideig tart az oda-, illetve visszaút, és legalább mennyi időt fognak a Marson tölteni? A bolygópályákat tekintsük azonos síkban fekvő köröknek, a Mars keringési ideje \(\displaystyle 687{,}0\) földi nap.
(5 pont)
Közli: Vladár Károly, Kiskunhalas
Megoldás. A Mars keringési ideje \(\displaystyle T_{\mathrm{M}}=687{,}0~\textrm{nap}=1{,}881~\textrm{év}\). Kepler III. törvénye alapján a Mars-pálya sugara:
\(\displaystyle \frac{R_{\mathrm{M}}^3}{T_{\mathrm{M}}^2}=\frac{R_{\mathrm{F}}^3}{T_{\mathrm{F}}^2},\quad\Rightarrow\quad R_{\mathrm{M}}=\sqrt[3]{\left(\frac{T_{\mathrm{M}}}{T_{\mathrm{F}}}\right)^2}R_{\mathrm{F}}=1{,}524~\mathrm{CsE}, \)
ahol \(\displaystyle R_\mathrm{F}=1\,\mathrm{CsE}\) a Föld-pálya sugara és \(\displaystyle T_\mathrm{F}=1\,\textrm{év}\) a Föld keringési ideje.
1. ábra
Az oda- és visszaút ellipszispályájának félnagytengelye:
\(\displaystyle a=\frac{R_{\mathrm{M}}+R_{\mathrm{F}}}{2}=1{,}262~\mathrm{CsE},\)
amelyen a keringési idő (ismét Kepler III. törvénye alapján):
\(\displaystyle \frac{a^3}{T^2}=\frac{R_{\mathrm{F}}^3}{T_{\mathrm{F}}^2},\quad\Rightarrow\quad T=\sqrt{\left(\frac{a}{R_{\mathrm{F}}}\right)^3}T_{\mathrm{F}}=1{,}418~\textrm{év}. \)
Az oda- és visszaút időtartama egyaránt ennek az időnek a fele:
\(\displaystyle t=\frac{T}{2}=0{,}709~\textrm{év}\approx 259~\mathrm{nap}. \)
Az űrhajót akkor lehet visszaindítani, ha a \(\displaystyle t\) ideig tartó visszaút után éppen a Földdel egyszerre ér az ellipszis napközeli pontjába. A 2. ábrán az odaút indulásának és megérkezésének, valamint a visszaút indulásának pillanata látható.
2. ábra
Az odautazás indulásakor a Mars még \(\displaystyle \alpha=\tfrac{360^\circ}{T_{\mathrm{M}}}\,t=135{,}7^\circ\)-kal a találkozási pont előtt jár. Mire az űrhajó pontosan fél fordulat után eléri a Marsot, a Föld \(\displaystyle \beta=\tfrac{360^\circ}{T_{\mathrm{F}}}\,t=255{,}2^\circ\)-ot tesz meg a pályáján, így a Föld ekkor \(\displaystyle \beta-180^\circ=75{,}2^\circ\)-kal jár a Mars előtt. Emiatt a visszainduláskor a Marsnak kell ugyanekkora szöggel a Föld előtt járnia. Tehát a Földnek az űrhajó megérkezése és visszaindulása között a Marshoz viszonyítva
\(\displaystyle \gamma=360^\circ-2(\beta-180^\circ)=209{,}6^\circ \)
szöget kell elfordulnia a Nap körül. A két bolygó relatív szögsebessége
\(\displaystyle \omega_{\mathrm{rel}}=\frac{360^\circ}{T_{\mathrm{F}}}-\frac{360^\circ}{T_{\mathrm{M}}}=\frac{168{,}6^\circ}{\textrm{év}}, \)
így a legrövidebb várakozási idő:
\(\displaystyle t_1=\frac{\gamma}{\omega_{\mathrm{rel}}}=1{,}243~\textrm{év}\approx 454~\textrm{nap}. \)
Elekes Panni (Budapest-Fasori Evangélikus Gimn., 10. évf.)
Megjegyzések. 1. A megadott ellipszispályát Hohmann-pályának nevezik Walter Hohmann német mérnök után, aki 1925-ben javasolta, mint rakétaüzemanyag-felhasználás szempontjából leggazdaságosabb bolygóközi pályát.
2. A Mars és a Föld
\(\displaystyle T_{\mathrm{rel}}=\frac{360^\circ}{\omega_{\mathrm{rel}}}=2{,}135~\textrm{év}\approx 780~\mathrm{nap} \)
időközönként kerül ugyanilyen relatív helyzetbe, így az első lehetséges alkalom után ennyi időnként adódik újabb lehetőség a visszaindulásra.
3. A Föld és a Mars pályájának numerikus excentricitása: 0,0167, illetve 0,0934. A Mars-pálya inklinációja (a pálya síkjának a Föld pályájáéval, vagyis az ekliptikával bezárt szöge): \(\displaystyle 1{,}85^\circ\). Ezeket a végső, pontosabb tervezéskor figyelembe kell venni.
22 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 4, hiányos (2–3 pont) 10 dolgozat.
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
