Szerk
P. 5651. Egy szigetelt, egyenletesen \(\displaystyle \sigma\) felületi töltéssűrűséggel rendelkező szabályos háromszög alakú lap minden oldala \(\displaystyle \sqrt{2}a\) hosszúságú. Mekkora az elektromos térerősség értéke abban a pontban, amely minden csúcsponttól \(\displaystyle a\) távolságra helyezkedik el?
(6 pont)
KVANT feladat
Megoldás. Tegyük fel, hogy a csúcsoktól \(\displaystyle a\) távolságra lévő pontban van egy \(\displaystyle q\) töltésű pontszerű test. Ekkor Newton III. törvénye alapján ugyanakkora erővel hat a ponttöltés a lapra, mint a lap a ponttöltésre. Osszuk a lapot kis darabkákra, és jelöljük az \(\displaystyle i\)-edik darabka területét \(\displaystyle \Delta A_i\)-vel. Ekkor az egyenletes töltéseloszlás miatt az \(\displaystyle i\)-edik darabka töltése
\(\displaystyle \Delta Q_i=\sigma\Delta A_i \)
nagyságú, így a ráható elektromos erő nagysága
\(\displaystyle F_i=E_i\Delta Q_i, \)
ahol \(\displaystyle E_i\) a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a darabka helyén létrehozott térerősség nagysága. A szigetelőlapra ható erőt a lemezdarabkákra ható erők vektori összegeként számíthatjuk ki. A szimmetria miatt az eredő erő a lemezre merőleges lesz, így elegendő az ilyen irányú erőkomponenseket összegezni:
\(\displaystyle F=\sum_iF_i\cos\alpha_i=\sum_iE_i\sigma\Delta A_i\cos\alpha_i=\sigma\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i, \)
ahol \(\displaystyle \alpha_i\) a ponttöltést a felületdarabkával összekötő egyenes és a felület normálisa által bezárt szög. A kapott kifejezésben az összeg a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a lapon létrehozott elektromos fluxus:
\(\displaystyle \Psi=\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i. \)
Ha gondolatban körbevesszük a ponttöltést szimmetrikusan egy \(\displaystyle \sqrt{2}a\) oldalélű oktaéderrel, akkor a ponttöltés távolsága a csúcsoktól \(\displaystyle a\) lesz. A Gauss-törvény alapján az oktaéder lapjain összesen \(\displaystyle q/\varepsilon_0\) fluxus halad át, ezért egyetlen háromszöglapon ennek a nyolcada:
\(\displaystyle \Psi=\frac{q}{8\varepsilon_0}. \)
Ezt felhasználva a ponttöltés és a háromszöglap között ható erő:
\(\displaystyle F=\frac{\sigma q}{8\varepsilon_0}, \)
és ebből a \(\displaystyle q\) ponttöltés helyén létrejövő elektromos térerősség:
\(\displaystyle E=\frac{F}{q}=\frac{\sigma}{8\varepsilon_0}. \)
Kiss Adorján Timon (Kaposvári Táncsics M. Gimn., 12. évf.)
7 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Hiányos (2 pont) 1 dolgozat.
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
