Szerk
P. 5651. Egy szigetelt, egyenletesen \(\displaystyle \sigma\) felületi töltéssűrűséggel rendelkező szabályos háromszög alakú lap minden oldala \(\displaystyle \sqrt{2}a\) hosszúságú. Mekkora az elektromos térerősség értéke abban a pontban, amely minden csúcsponttól \(\displaystyle a\) távolságra helyezkedik el?
(6 pont)
KVANT feladat
Megoldás. Tegyük fel, hogy a csúcsoktól \(\displaystyle a\) távolságra lévő pontban van egy \(\displaystyle q\) töltésű pontszerű test. Ekkor Newton III. törvénye alapján ugyanakkora erővel hat a ponttöltés a lapra, mint a lap a ponttöltésre. Osszuk a lapot kis darabkákra, és jelöljük az \(\displaystyle i\)-edik darabka területét \(\displaystyle \Delta A_i\)-vel. Ekkor az egyenletes töltéseloszlás miatt az \(\displaystyle i\)-edik darabka töltése
\(\displaystyle \Delta Q_i=\sigma\Delta A_i \)
nagyságú, így a ráható elektromos erő nagysága
\(\displaystyle F_i=E_i\Delta Q_i, \)
ahol \(\displaystyle E_i\) a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a darabka helyén létrehozott térerősség nagysága. A szigetelőlapra ható erőt a lemezdarabkákra ható erők vektori összegeként számíthatjuk ki. A szimmetria miatt az eredő erő a lemezre merőleges lesz, így elegendő az ilyen irányú erőkomponenseket összegezni:
\(\displaystyle F=\sum_iF_i\cos\alpha_i=\sum_iE_i\sigma\Delta A_i\cos\alpha_i=\sigma\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i, \)
ahol \(\displaystyle \alpha_i\) a ponttöltést a felületdarabkával összekötő egyenes és a felület normálisa által bezárt szög. A kapott kifejezésben az összeg a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a lapon létrehozott elektromos fluxus:
\(\displaystyle \Psi=\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i. \)
Ha gondolatban körbevesszük a ponttöltést szimmetrikusan egy \(\displaystyle \sqrt{2}a\) oldalélű oktaéderrel, akkor a ponttöltés távolsága a csúcsoktól \(\displaystyle a\) lesz. A Gauss-törvény alapján az oktaéder lapjain összesen \(\displaystyle q/\varepsilon_0\) fluxus halad át, ezért egyetlen háromszöglapon ennek a nyolcada:
\(\displaystyle \Psi=\frac{q}{8\varepsilon_0}. \)
Ezt felhasználva a ponttöltés és a háromszöglap között ható erő:
\(\displaystyle F=\frac{\sigma q}{8\varepsilon_0}, \)
és ebből a \(\displaystyle q\) ponttöltés helyén létrejövő elektromos térerősség:
\(\displaystyle E=\frac{F}{q}=\frac{\sigma}{8\varepsilon_0}. \)
Kiss Adorján Timon (Kaposvári Táncsics M. Gimn., 12. évf.)
7 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Hiányos (2 pont) 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
