A P. 5653. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5653. Két egyenes út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik úton egy személyautó \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel, a másikon egy motoros \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel közeledik a kereszteződéshez. Egy adott (\(\displaystyle t=0\)) pillanatban két jármű távolsága (légvonalban) \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). \(\displaystyle 5\) másodperc elteltével a távolságuk \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\)-re csökken.

a) Milyen messze volt a két jármű a kereszteződéstől kezdetben?

b) Mekkora lesz a két jármű közötti legkisebb távolság?

Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.

(5 pont)

1897. évi érettségi feladat nyomán

Megoldás. a) Jelölje az autó távolságát a kereszteződéstől kezdetben \(\displaystyle x\), a motorosét \(\displaystyle y\). A személyautó sebessége \(\displaystyle v_{\mathrm{x}}=25~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), a motorosé \(\displaystyle v_{\mathrm{y}}=20~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\). Kezdetben a távolságuk \(\displaystyle d_0=347~\mathrm{m}\), \(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) idővel később \(\displaystyle d_1=188~\mathrm{m}\). Ezekkel a jelölésekkel kezdetben fennáll:

\(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2, \)

\(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) eltelte után pedig:

\(\displaystyle (x-v_{\mathrm{x}}t_1)^2+(y-v_{\mathrm{y}}t_1)^2=d_1^2. \)

Az egyszerűség kedvéért helyettesítsük be a két egyenletbe az ismert értékeket (mindent SI mértékegységben). Ez alapján:

Vonjuk ki az (1) egyenletből a (2) egyenletet. Így rendezés után:

\(\displaystyle 25x+20y=11069. \)

Ebből \(\displaystyle y\)-t kifejezve, és beírva (1)-be, majd rendezve az alábbi másodfokú egyenlet adódik:

\(\displaystyle 1025x^2-553450x+74359161=0. \)

Ennek megoldásai \(\displaystyle x\)-re, valamint az egyes \(\displaystyle x\) értékekhez tartozó \(\displaystyle y\) értékek:

Láthatjuk, hogy mindkét megoldáspár fizikailag értelmes. Tehát az autó és a motoros kezdetben 288 m és 193 m, vagy 252 m és 239 m távolságra voltak a kereszteződéstől.

b) A \(\displaystyle t\) idő függvényében a két jármű közötti \(\displaystyle d\) távolság a következő összefüggés szerint változik:

\(\displaystyle d=\sqrt{(x-25t)^2+(y-20t)^2}. \)

Ennek ott van minimuma, ahol a gyök alatt lévő kifejezésnek, tehát a következő függvény szélsőértékét keressük:

\(\displaystyle f(t)=(x-25t)^2+(y-20t)^2=1025t^2-(50x+40y)t+120409. \)

(A rendezésnél felhasználtam, hogy \(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2=347^2\).) Beírva az a) részben megkapott \(\displaystyle x_1=288{,}5~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle y_1=192{,}8~\mathrm{m}\) értékpárt:

\(\displaystyle f(t)=1025t^2-22137t+120409. \)

Ez egy másodfokú függvény, minimumhelyét megkereshetjük deriválással:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=2025t-22137=0, \)

amiből

\(\displaystyle t_{\mathrm{min}}\approx 10{,}8~\mathrm{s}. \)

Ezt visszahelyettesítve \(\displaystyle d\) kifejezésébe:

\(\displaystyle d_{\mathrm{min}}=\sqrt{(x_1-25t_{\mathrm{min}})^2+(y_1-20t_{\mathrm{min}})^2}\approx 30~\mathrm{m}. \)

Tehát a két jármű közötti legkisebb távolság 30 m. (Az a) részben kapott másik \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral ugyanezt az eredményt kapjuk.)

Klement Tamás (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 12. évf.)

Megjegyzések. 1. A másodfokú kifejezés minimumhelye teljes négyzetté alakítással is megkapható.

2. Az a) részben kapott két megoldás szimmetrikus abban az értelemben, hogy ha a járművek az \(\displaystyle x_1\)-\(\displaystyle y_1\) értékekkel megadott pontból indulnak, akkor \(\displaystyle 2t_{\mathrm{min}}\) idő múlva a kereszteződés túloldalán az \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral megadott pontokba érkeznek – és viszont. Ez érthető, hiszen a mozgások időben megfordíthatók. Egyik esetben a motoros, a másikban az autó halad át előbb a kereszteződésen.

35 dolgozat érkezett. Helyes 22 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (2–3 pont) 4 dolgozat.