A P. 5664. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5664. Sokszor halljuk, hogy a sarkokon olvadó jég lassítja a Föld tengely körüli forgását. Becsüljük meg a jelenség nagyságát! Az Antarktisz területe \(\displaystyle 14~\textrm{millió~km}^2\), az Arktisz jégtakaróját is tekintsük ugyanekkorának. Vizsgáljuk azt, ha a Déli, illetve az Északi sarkon 1 m vastagságban elolvad a jég.

a) Mennyivel változik a tengerszint az egyik és a másik esetben?

b) Mennyivel változik egy földi nap hossza?

(5 pont)

Közli: Cserti József, Budapest

Megoldás. A feladatban felhasznált megadott, táblázatokból kikeresett és számított adatok:

az Antarktisz (és az Arktisz) területe: \(\displaystyle A=14~\textrm{millió}~\mathrm{km}^2=1{,}4\cdot 10^{13}~\mathrm{m}^2\),

az olvadó jég vastagsága: \(\displaystyle h=1~\mathrm{m}\),

a jég sűrűsége: \(\displaystyle \varrho_{\mathrm{j}}=917~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\), a víz sűrűsége: \(\displaystyle \varrho_{\mathrm{v}}\approx 1000~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\),

a Föld sugara: \(\displaystyle R=6{,}371\cdot 10^6~\mathrm{km}\),

a Föld tehetetlenségi nyomatéka: \(\displaystyle \Theta_\oplus=8{,}04\cdot 10^{37}~\mathrm{kgm}^2\). (Irodalmi adat. A Föld tehetetlenségi nyomatékára az egyszerű homogén gömb modellel ennél nagyobb érték adódik: \(\displaystyle \Theta=\tfrac{2}{5}mR^2\approx 9{,}7\cdot 10^{37}~\mathrm{kgm}^2\). Az eltérés fő oka (a nem teljesen szabályos gömb alakon kívül), hogy a Föld nem homogén, a magjának sokkal nagyobb a sűrűsége, mint a kéregnek.) Az óceánok és tengerek felszíne: \(\displaystyle A_{\mathrm{o}}\approx 3{,}61\cdot 10^{14}~\mathrm{m}^2\) (a Föld felszínének \(\displaystyle 70{,}8\%\)-a),

a) I. Antarktisz (szárazföldi jég).

Az elolvadó jég térfogata:

\(\displaystyle V_{\mathrm{j}}=Ah=1{,}4\cdot 10^{13}~\mathrm{m}^3, \)

a keletkező víz térfogata:

\(\displaystyle V_{\mathrm{v}}=\frac{\varrho_{\mathrm{j}}}{\varrho_{\mathrm{v}}}V_{\mathrm{j}}\approx 1{,}28\cdot 10^{13}~\mathrm{m}^3. \)

Ebből a tengerek vízszintemelkedése:

\(\displaystyle \Delta h=\frac{V_{\mathrm{v}}}{A_{\mathrm{o}}}\approx 0{,}0358~\mathrm{m}\approx 3{,}6~\mathrm{cm}. \)

II. Arktisz (tengeri jég).

A tengeri jég úszik a vízen, így a megolvadás előtt is a súlyának megfelelő mennyiségű vizet szorít ki. A tengerek szintje ezért az olvadás miatt nem emelkedik.

b) Az olvadás közben a Föld perdülete nem változik, így

\(\displaystyle N=\Theta\omega=\textrm{állandó}. \)

Ebből a napok \(\displaystyle T=1~\mathrm{nap}\approx 86400~\mathrm{s}\) hosszának változása:

\(\displaystyle \Delta T=\frac{\Delta\Theta}{\Theta_\oplus}\,T. \)

(Azért csak közelítően, mert valójában itt nem a 24 órás nap, hanem a \(\displaystyle 23^\mathrm{h}~56'\,4''\)-es csillagnap, a Föld állócsillagokhoz viszonyított forgási periódusának változását számítjuk.)

Az elolvadó jég tömege:

\(\displaystyle m_{\mathrm{j}}=\varrho_{\mathrm{j}}V_{\mathrm{j}}=1{,}284\cdot 10^{16}~\mathrm{kg}. \)

A (kezdeti) tehetetlenségi nyomaték meghatározásához a jeget gömbsüveg alakúnak tekintjük. (Mivel a gömbsüveg magassága mindössze a Föld sugarának \(\displaystyle 5\%\)-a, feladat megoldásának közelítései mellett a gömbsüveg helyett – sokkal egyszerűbben – körlappal is számolhatunk.) Ekkor a területe így is felírható:

\(\displaystyle A=2\pi R^2(1-\cos\vartheta), \)

ahol \(\displaystyle \vartheta\) a jégtakaró peremének szögtávolsága a sarkoktól. Az adatokat behelyettesítve \(\displaystyle \vartheta\approx 19^\circ\).

A jégsapka tehetetlenségi nyomatéka a Föld forgástengelyére vonatkoztatva:

\(\displaystyle \Theta_0=\int\limits_V\varrho_{\mathrm{j}}(R\sin\vartheta)^2\mathrm{d}V=2\pi\varrho_{\mathrm{j}}hR^4\int\limits_0^\vartheta\sin^3\vartheta\mathrm{d}\vartheta, \)

ahol \(\displaystyle \mathrm{d}V=2\pi R\sin\vartheta\,hR\mathrm{d}\vartheta\) a jégsapka elemi gömbövének térfogata. Az integrál értéke:

\(\displaystyle \int\limits_0^\vartheta\sin^3\vartheta\mathrm{d}\vartheta=\left[-\cos\vartheta+\frac{1}{3}\cos^3\vartheta\right]_0^\vartheta=\frac{2}{3}-\cos\vartheta+\frac{1}{3}\cos^3\vartheta\approx 0{,}0029. \)

Ezt felhasználva és az adatokat behelyettesítve:

\(\displaystyle \Theta_0\approx 2{,}7\cdot 10^{28}~\mathrm{kgm}^2. \)

I. Antarktisz.

Az olvadás után a víz elterül a világtengereken. A kontinensek eloszlása nem egyenletes, de közelítőleg úgy számolhatunk, mintha egy vékony gömbhéj lenne. Ennek tehetetlenségi nyomatéka:

\(\displaystyle \Theta_1=\frac{2}{3}m_{\mathrm{j}}R^2=3{,}47\cdot 10^{29}~\mathrm{kgm}^2. \)

A tehetetlenségi nyomaték változása:

\(\displaystyle \Delta\Theta=\Theta_1-\Theta_0=3{,}20\cdot 10^{29}~\mathrm{kgm}^2, \)

és ez alapján a napok hosszának változása:

\(\displaystyle \Delta T=\frac{\Delta\Theta}{\Theta_\oplus}\,T=3{,}4\cdot 10^{-4}~\mathrm{s}=0{,}34~\mathrm{ms}. \)

II. Arktisz.

Ebben az esetben nincs tömegátrendeződés, így a napok hossza se változik.

Az Entrópiatagadók csapat: Budai Máté, Nacsa Domán
(Gyula, Erkel F. Gimn., 12. évf.)

26 dolgozat érkezett. Helyes 4 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 10, hiányos (2–3 pont) 8, hibás 1, nem versenyszerű 3 dolgozat.