Szerk
P. 5667. Az ábrán egy izzólámpa látható két homorú tükör között. A jobb oldali tükör párhuzamos fénynyalábot állít elő, míg a bal oldali, kis méretű tükör megakadályozza, hogy az izzólámpa fényének jelentős része kiszökjön ebből az összeállításból, ami egy gépkocsi reflektorának felel meg.
a) Magyarázzuk el, hogy miért ad erősebb fényt a reflektor a bal oldali kis tükör használatával, mint nélküle!
b) Vonalzóval végezzünk méréseket az ábrán, és állapítsuk meg a két tükör fókusztávolságának arányát!
c) Vonalzóval elvégzett méréseink alapján becsüljük meg, hogy az izzólámpa fényének hány százaléka kerül a reflektor által előállított párhuzamos fénynyalábba a kis tükör használata nélkül, illetve a kis tükör beépítésével!
(5 pont)
Példatári feladat nyomán
Megoldás. a) A reflektornak párhuzamos fénynyalábot kell előállítania. A kis tükör visszajuttat a parabolatükörre olyan fénysugarakat, amelyek enélkül más irányokba szóródtak volna. Ezáltal annak ellenére megnő a reflektor fényereje, hogy a kis tükör a fénynyaláb egy részét kitakarja.
b) A nagy tükör egy parabolatükör, aminek éppen a fókuszában helyezkedik el az izzó (ezért hoz létre párhuzamos nyalábot), így annak \(\displaystyle f_1\) fókusztávolsága közvetlenül lemérhető. A kis tükör egy gömbtükör, ennek középpontjában van az izzó (ezért a fény ugyanabba az irányba verődik vissza), így a gömb \(\displaystyle r\) sugara olvasható le. Az \(\displaystyle f_2\) fókusztávolság ennek fele.
A kinyomtatott ábráról leolvasott és az ezekből számolt értékek:
Megjegyzés. A feladatban nincsenek abszolút méretek megadva, a kinyomtatott ábráról leolvasott méretek a nagyítástól függenek. Így csak a fókusztávolságok keresett aránya független a nyomtatás nagyításától.
c) A \(\displaystyle \Phi\) fényáramokat a térszögek (A térszög nagysága a térszög által egy \(\displaystyle r\) sugarú gömb felületéből kimetszett felületdarab területe osztva \(\displaystyle r^2\)-tel (\(\displaystyle \Omega=A/r^2\)). Mértékegysége a szteradián (sr).) alapján lehet kiszámolni:
\(\displaystyle \Phi=I\Omega, \)
ahol \(\displaystyle I\) a fényforrás intenzitása, \(\displaystyle \Omega\) pedig a térszög. Egy \(\displaystyle \varphi\) félnyílásszögű kúphoz tartozó térszög:
\(\displaystyle \Omega(\varphi)=2\pi(1-\cos\varphi), \)
a teljes térszög pedig \(\displaystyle 4\pi\).
Az ábrán három különböző szöget jelöltünk be: \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) a nagy, illetve a kis tükör pereméhez húzott sugarak optikai tengellyel bezárt szöge, \(\displaystyle \gamma\) pedig annak a sugárnak a szöge, amely a parabolatükörről visszaverődve éppen a kis tükör peremét érinti. Erre azért van szükségünk, mert az ennél kisebb szögben induló fénysugarakat a kis tükör kitakarja. A kinyomtatott ábrán lemérve:
\(\displaystyle \alpha\approx 47^\circ,\qquad\beta\approx 42^\circ,\qquad\gamma\approx 15^\circ. \)
A kis tükör nélkül az izzó fényének hasznosuló hányada:
\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)}{4\pi}=\frac{2\pi(1-\cos\alpha)}{4\pi}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\approx 16\%. \)
A kis tükör használatával ehhez hozzáadódik az arról visszaverődő fény is, viszont mindkettőből le kell vonnunk a kitakart részt. Ez alapján a hasznosuló fényáram és a teljes fényáram aránya:
\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)+\Omega(\beta)-2\Omega(\gamma)}{4\pi}=\frac{2\cos\gamma-\cos\alpha-\cos\beta}{2}\approx 25\%. \)
Láthatjuk, hogy a kis tükör több mint másfélszeresére növeli a reflektor teljesítményét.
Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.) ésSümeghi Nándor (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)dolgozata alapján.
Megjegyzés. A fényből az izzó foglalata is kitakar valamennyit, de ezt nem vettük figyelembe a számításnál. A kis tükröt gyakran beleépítik az izzóba.
26 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 15, hiányos(1–2 pont) 7, nem versenyszerű 1 dolgozat.
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
