A P. 5667. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5667. Az ábrán egy izzólámpa látható két homorú tükör között. A jobb oldali tükör párhuzamos fénynyalábot állít elő, míg a bal oldali, kis méretű tükör megakadályozza, hogy az izzólámpa fényének jelentős része kiszökjön ebből az összeállításból, ami egy gépkocsi reflektorának felel meg.

a) Magyarázzuk el, hogy miért ad erősebb fényt a reflektor a bal oldali kis tükör használatával, mint nélküle!

b) Vonalzóval végezzünk méréseket az ábrán, és állapítsuk meg a két tükör fókusztávolságának arányát!

c) Vonalzóval elvégzett méréseink alapján becsüljük meg, hogy az izzólámpa fényének hány százaléka kerül a reflektor által előállított párhuzamos fénynyalábba a kis tükör használata nélkül, illetve a kis tükör beépítésével!

(5 pont)

Példatári feladat nyomán

Megoldás. a) A reflektornak párhuzamos fénynyalábot kell előállítania. A kis tükör visszajuttat a parabolatükörre olyan fénysugarakat, amelyek enélkül más irányokba szóródtak volna. Ezáltal annak ellenére megnő a reflektor fényereje, hogy a kis tükör a fénynyaláb egy részét kitakarja.

b) A nagy tükör egy parabolatükör, aminek éppen a fókuszában helyezkedik el az izzó (ezért hoz létre párhuzamos nyalábot), így annak \(\displaystyle f_1\) fókusztávolsága közvetlenül lemérhető. A kis tükör egy gömbtükör, ennek középpontjában van az izzó (ezért a fény ugyanabba az irányba verődik vissza), így a gömb \(\displaystyle r\) sugara olvasható le. Az \(\displaystyle f_2\) fókusztávolság ennek fele.

A kinyomtatott ábráról leolvasott és az ezekből számolt értékek:

Megjegyzés. A feladatban nincsenek abszolút méretek megadva, a kinyomtatott ábráról leolvasott méretek a nagyítástól függenek. Így csak a fókusztávolságok keresett aránya független a nyomtatás nagyításától.

c) A \(\displaystyle \Phi\) fényáramokat a térszögek (A térszög nagysága a térszög által egy \(\displaystyle r\) sugarú gömb felületéből kimetszett felületdarab területe osztva \(\displaystyle r^2\)-tel (\(\displaystyle \Omega=A/r^2\)). Mértékegysége a szteradián (sr).) alapján lehet kiszámolni:

\(\displaystyle \Phi=I\Omega, \)

ahol \(\displaystyle I\) a fényforrás intenzitása, \(\displaystyle \Omega\) pedig a térszög. Egy \(\displaystyle \varphi\) félnyílásszögű kúphoz tartozó térszög:

\(\displaystyle \Omega(\varphi)=2\pi(1-\cos\varphi), \)

a teljes térszög pedig \(\displaystyle 4\pi\).

Az ábrán három különböző szöget jelöltünk be: \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) a nagy, illetve a kis tükör pereméhez húzott sugarak optikai tengellyel bezárt szöge, \(\displaystyle \gamma\) pedig annak a sugárnak a szöge, amely a parabolatükörről visszaverődve éppen a kis tükör peremét érinti. Erre azért van szükségünk, mert az ennél kisebb szögben induló fénysugarakat a kis tükör kitakarja. A kinyomtatott ábrán lemérve:

\(\displaystyle \alpha\approx 47^\circ,\qquad\beta\approx 42^\circ,\qquad\gamma\approx 15^\circ. \)

A kis tükör nélkül az izzó fényének hasznosuló hányada:

\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)}{4\pi}=\frac{2\pi(1-\cos\alpha)}{4\pi}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\approx 16\%. \)

A kis tükör használatával ehhez hozzáadódik az arról visszaverődő fény is, viszont mindkettőből le kell vonnunk a kitakart részt. Ez alapján a hasznosuló fényáram és a teljes fényáram aránya:

\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)+\Omega(\beta)-2\Omega(\gamma)}{4\pi}=\frac{2\cos\gamma-\cos\alpha-\cos\beta}{2}\approx 25\%. \)

Láthatjuk, hogy a kis tükör több mint másfélszeresére növeli a reflektor teljesítményét.

Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.) és
Sümeghi Nándor (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)
dolgozata alapján.

Megjegyzés. A fényből az izzó foglalata is kitakar valamennyit, de ezt nem vettük figyelembe a számításnál. A kis tükröt gyakran beleépítik az izzóba.

26 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 15, hiányos(1–2 pont) 7, nem versenyszerű 1 dolgozat.