Szerk
P. 5672. Az Egyenlítőn állva, éppen a fejünk felett halad át egy műhold, amely a Föld felszínétől \(\displaystyle 400~\mathrm{km}\)-re levő pályán kering. Legfeljebb mennyi ideig láthatjuk a műholdat?
(4 pont)
Közli: Németh László, Fonyód
Megoldás.
A Föld egyenlítői sugara \(\displaystyle {R=6378~\mathrm{km}}\). Az ábra alapján a \(\displaystyle h=400~\mathrm{km}\) magasan keringő műhold épp a horizonton látszik, amikor a megfigyelőhöz képest a szögelfordulása:
\(\displaystyle \alpha=\arccos\frac{R}{R+h}=19{,}78^\circ=0,3453. \)
A műholdat a Föld gravitációs vonzása tartja körpályán, így a mozgásegyenlete:
\(\displaystyle \frac{\gamma Mm}{r^2}=m\omega_\mathrm{m}^2r, \)
ahol \(\displaystyle \gamma=6{,}674\cdot 10^{-11}~\mathrm{Nm^2kg^{-2}}\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M=5{,}972\cdot 10^{24}~\mathrm{kg}\) a Föld tömege, \(\displaystyle m\) a műhold tömege, \(\displaystyle r=R+h\) a műhold pályasugara és \(\displaystyle \omega_\mathrm{m}\) a keringésének szögsebessége. Rendezve és az adatokat behelyettesítve:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{m}=\sqrt{\frac{\gamma M}{r^3}}=1{,}131\cdot 10^{-3}~\mathrm{s^{-1}}. \)
A Föld forgásának szögsebessége (az állócsillagokhoz képest, így a \(\displaystyle 23^\mathrm{h}\,56'\,4''\)-es csillagnappal kell számolni):
\(\displaystyle \omega_\mathrm{F}=\frac{2\pi}{86164~\mathrm{s}}=7{,}292\cdot 10^{-5}~\mathrm{s^{-1}}. \)
A műhold akkor látszik leghosszabb ideig, ha az Egyenlítő síkjában és a Föld forgásával azonos irányba kering. Ekkor a Földhöz viszonyított relatív szögsebessége:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{r}=\omega_\mathrm{m}-\omega_\mathrm{F}=1{,}058\cdot 10^{-3}~\mathrm{s^{-1}}, \)
és így
\(\displaystyle t=\frac{2\alpha}{\omega_\mathrm{r}}\approx 653~\mathrm{s}=10{,}9~\mathrm{perc} \)
ideig láthatjuk.
Kádár Luca Linda (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 10. évf.)
Megjegyzés. A számításhoz sík felületet feltételeztünk, és a légkör fénytörését nem vettük figyelembe.
47 dolgozat érkezett. Helyes 12 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 11, hiányos (1–2 pont) 24 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
