Szerk
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
(4 pont)
I. megoldás. Az 1. ábrán berajzoltuk a háromszög súlyvonalait és a háromszögre ható erőket. A lemezre ható \(\displaystyle G\) nehézségi erőt egyetlen, a súlypontban ható erőként vettük figyelembe.
1. ábra
A lemez egyensúlyban van, így a rá ható erők forgatónyomatékának eredője bármely tengelyre vonatkoztatva nulla. Vizsgáljuk először a \(\displaystyle BC\) tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatékokat. Ekkor \(\displaystyle F_B\) és \(\displaystyle F_C\) forgatónyomatéka nulla, tehát az egyensúlyhoz az szükséges, hogy
\(\displaystyle F_Am_A=Gm_{S}. \)
A súlypont a súlyvonal csúcstól távolabbi harmadolópontjában van, így a párhuzamos szelők tétele alapján
\(\displaystyle \frac{m_A}{m_{S}}=3, \)
amiből
\(\displaystyle F_A=\frac{G}{3}. \)
Ugyanígy járhatunk el a háromszög többi oldalára illeszkedő tengellyel is, tehát a háromszög alakjától függetlenül mindhárom alátámasztási pontot azonos erő terheli:
\(\displaystyle F_A=F_B=F_C=\frac{G}{3}. \)
Csikós Attila (Budapest, Városmajori Gimn., 9. évf.)
II. megoldás.Az előző megoldáshoz hasonlóan felrajzoltuk a háromszöget (2. ábra), de most az \(\displaystyle AS\) tengelyre vizsgáljuk a forgatónyomatékok egyensúlyát. Ekkor \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle F_A\) forgatónyomatéka nulla, tehát az egyensúly feltétele:
\(\displaystyle F_Bm_B=F_Cm_C. \)
A \(\displaystyle BM_BS_A\) és \(\displaystyle CM_CS_A\) háromszögek egybevágósága miatt \(\displaystyle m_B=m_C\), és így \(\displaystyle {F_B=F_C}\). Ugyanígy járhatunk el egy másik súlyvonal esetében is, tehát a három alátámasztási pontra ható erő megegyezik. A három erő eredőjének egyensúlyt kell tartania a \(\displaystyle G\) nehézségi erővel, így az előző megoldással összhangban:
2. ábra
Blaskovics Bálint (Budapest, Óbudai Árpád Gimn., 9. évf.)
40 dolgozat érkezett. Helyes 20 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 7, hibás 10 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
