Szerk
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
(4 pont)
I. megoldás. Az 1. ábrán berajzoltuk a háromszög súlyvonalait és a háromszögre ható erőket. A lemezre ható \(\displaystyle G\) nehézségi erőt egyetlen, a súlypontban ható erőként vettük figyelembe.
1. ábra
A lemez egyensúlyban van, így a rá ható erők forgatónyomatékának eredője bármely tengelyre vonatkoztatva nulla. Vizsgáljuk először a \(\displaystyle BC\) tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatékokat. Ekkor \(\displaystyle F_B\) és \(\displaystyle F_C\) forgatónyomatéka nulla, tehát az egyensúlyhoz az szükséges, hogy
\(\displaystyle F_Am_A=Gm_{S}. \)
A súlypont a súlyvonal csúcstól távolabbi harmadolópontjában van, így a párhuzamos szelők tétele alapján
\(\displaystyle \frac{m_A}{m_{S}}=3, \)
amiből
\(\displaystyle F_A=\frac{G}{3}. \)
Ugyanígy járhatunk el a háromszög többi oldalára illeszkedő tengellyel is, tehát a háromszög alakjától függetlenül mindhárom alátámasztási pontot azonos erő terheli:
\(\displaystyle F_A=F_B=F_C=\frac{G}{3}. \)
Csikós Attila (Budapest, Városmajori Gimn., 9. évf.)
II. megoldás.Az előző megoldáshoz hasonlóan felrajzoltuk a háromszöget (2. ábra), de most az \(\displaystyle AS\) tengelyre vizsgáljuk a forgatónyomatékok egyensúlyát. Ekkor \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle F_A\) forgatónyomatéka nulla, tehát az egyensúly feltétele:
\(\displaystyle F_Bm_B=F_Cm_C. \)
A \(\displaystyle BM_BS_A\) és \(\displaystyle CM_CS_A\) háromszögek egybevágósága miatt \(\displaystyle m_B=m_C\), és így \(\displaystyle {F_B=F_C}\). Ugyanígy járhatunk el egy másik súlyvonal esetében is, tehát a három alátámasztási pontra ható erő megegyezik. A három erő eredőjének egyensúlyt kell tartania a \(\displaystyle G\) nehézségi erővel, így az előző megoldással összhangban:
2. ábra
Blaskovics Bálint (Budapest, Óbudai Árpád Gimn., 9. évf.)
40 dolgozat érkezett. Helyes 20 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 7, hibás 10 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
