Szerk
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
(5 pont)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
Megoldás. Végezzük el a következő gondolatkísérletet: 4 egység hosszúságú fonalat helyezünk egy olyan folyadékhártyába, amelynek felületi feszültsége egy \(\displaystyle h\) határvonal két oldalán különböző (\(\displaystyle \sigma\) és \(\displaystyle 2\sigma\), lásd az ábrát). A fonal \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) végei szabadon elmozdulhatnak a \(\displaystyle p\) peremen, amely 1 egység távolságra van a \(\displaystyle h\) határvonaltól. Ezután kilyukasztjuk a fonál és a \(\displaystyle p\) egyenes által körbevett részt. A megmaradó folyadékhártya összenergiája minimális lesz, amely épp azt jelenti, hogy a körbehatárolt terület értéke (árral súlyozott összterülete) maximális.
A gondolatkísérlet alapján a következő megállapításokat tehetjük.
– Egyensúlyban az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pontokban a fonál merőleges a \(\displaystyle p\) egyenesre, mert különben elmozdulna.
– A fonál egyes darabjai körívek, mert a felületi feszültségből származó erő mindenhol merőleges a fonálra (a fonálban ható erő nagysága állandó), és az egyes tartományokon belül az egységnyi hosszra ható erő állandó.
– A \(\displaystyle BC\) körív sugara kétszer akkora, mint az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) körívek sugara, hiszen ott fele akkora a felületi feszültség (az egységnyi hosszra ható erő).
– A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokban a fonálnak törésmentesnek kell lennie, mert nincsen olyan erő, amely ki tudná egyenlíteni a két megtört fonáldarabban ébredő erők eredőjét.
Ezeket figyelembe véve az ábra alapján:
Rendezve \(\displaystyle \alpha\)-ra a következő transzcendens egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle 2\sin\alpha=\pi-\alpha, \)
amelyet numerikusan megoldva:
\(\displaystyle \alpha\approx 1{,}246\approx 71{,}4^\circ. \)
Ebből
\(\displaystyle R\approx 1{,}055~\mathrm{km} \)
és a keresett terület nagysága:
Kossár Benedek Balázs (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)
4 dolgozat érkezett. Helyes 1 megoldás. Hiányos (1–3 pont) 3 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
