Szerk
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
(5 pont)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
Megoldás. Végezzük el a következő gondolatkísérletet: 4 egység hosszúságú fonalat helyezünk egy olyan folyadékhártyába, amelynek felületi feszültsége egy \(\displaystyle h\) határvonal két oldalán különböző (\(\displaystyle \sigma\) és \(\displaystyle 2\sigma\), lásd az ábrát). A fonal \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) végei szabadon elmozdulhatnak a \(\displaystyle p\) peremen, amely 1 egység távolságra van a \(\displaystyle h\) határvonaltól. Ezután kilyukasztjuk a fonál és a \(\displaystyle p\) egyenes által körbevett részt. A megmaradó folyadékhártya összenergiája minimális lesz, amely épp azt jelenti, hogy a körbehatárolt terület értéke (árral súlyozott összterülete) maximális.
A gondolatkísérlet alapján a következő megállapításokat tehetjük.
– Egyensúlyban az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pontokban a fonál merőleges a \(\displaystyle p\) egyenesre, mert különben elmozdulna.
– A fonál egyes darabjai körívek, mert a felületi feszültségből származó erő mindenhol merőleges a fonálra (a fonálban ható erő nagysága állandó), és az egyes tartományokon belül az egységnyi hosszra ható erő állandó.
– A \(\displaystyle BC\) körív sugara kétszer akkora, mint az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) körívek sugara, hiszen ott fele akkora a felületi feszültség (az egységnyi hosszra ható erő).
– A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokban a fonálnak törésmentesnek kell lennie, mert nincsen olyan erő, amely ki tudná egyenlíteni a két megtört fonáldarabban ébredő erők eredőjét.
Ezeket figyelembe véve az ábra alapján:
Rendezve \(\displaystyle \alpha\)-ra a következő transzcendens egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle 2\sin\alpha=\pi-\alpha, \)
amelyet numerikusan megoldva:
\(\displaystyle \alpha\approx 1{,}246\approx 71{,}4^\circ. \)
Ebből
\(\displaystyle R\approx 1{,}055~\mathrm{km} \)
és a keresett terület nagysága:
Kossár Benedek Balázs (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)
4 dolgozat érkezett. Helyes 1 megoldás. Hiányos (1–3 pont) 3 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
