Szerk
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
(4 pont)
Közli: Bodor András, Budapest
Megoldás. A gördülési ellenállás elhanyagolható a légellenálláshoz képest, ezért azt nem vesszük figyelembe. A \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) maximális sebességet akkor éri el a biciklis, ha egyáltalán nem fékez, ilyenkor a közegellenállási erő egyensúlyt tart a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=\frac{1}{2}c\varrho Av_{\mathrm{max}}^2=kv_{\mathrm{max}}^2, \)
ahol \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle c\) alaktényezőtől, a levegő \(\displaystyle \varrho\) sűrűségétől és a biciklis \(\displaystyle A\) keresztmetszetétől függő, de a sebességtől független állandó. Az egyenletből:
\(\displaystyle k=\frac{mg\sin\alpha}{v_{\mathrm{max}}^2}. \)
Ha a biciklis \(\displaystyle v<v_{\mathrm{max}}\) állandó sebességgel gurul, akkor a közegellenállási erő és a fékezőerő összege tart egyensúlyt a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=kv^2+F_{\mathrm{f}}, \)
amiből a fékezőerő:
\(\displaystyle F_{\mathrm{f}}=mg\sin\alpha-kv^2=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right). \)
A fékezőerő teljesítménye \(\displaystyle -F_{\mathrm{f}}\,v\), tehát a féken disszipálódó hőteljesítmény:
\(\displaystyle P_{\mathrm{f}}(v)=F_{\mathrm{f}}\,v=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right)v. \)
Molnár Lili (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 12. évf.)
Megjegyzés. A \(\displaystyle P_{\mathrm{f}}\,(v)\) függvényt az ábrán látható grafikonon ábrázoltuk.
Látható, hogy a grafikonnak valahol a \(\displaystyle 0<v<v_{\mathrm{max}}\) tartományon maximuma van. Ez érthető, hiszen nagyon kis \(\displaystyle v\) sebességnél ugyan nagy erővel kell fékezni, de a \(\displaystyle {P_{\mathrm{f}}=F_{\mathrm{f}}\,v}\) miatt minimális a fékteljesítmény, a határsebességhez közeledve pedig az \(\displaystyle F_{\mathrm{f}}\) fékerő csökken. A maximumhelyet és a maximum értékét le lehet olvasni a grafikonról, vagy deriválással lehet meghatározni:
25 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 5, hibás 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
