Kiss Melinda Flóra, Győrffy-Kerekes Anna, Velich Nóra
1. feladat. Egy \(\displaystyle 2026\times 2026\)-os négyzetrácsot bordónak nevezünk, ha a \(\displaystyle 2026^2\) darab egységcellája közül legalább egy pirosra van színezve. Egy cellákból álló téglalap alakú régiót páratlanosnak hívunk, ha páratlan sok piros cellát tartalmaz. Határozd meg azt a legnagyobb pozitív egész \(\displaystyle M\) számot, amelyre bármely \(\displaystyle {2026\times 2026}\)-os bordó négyzetrács esetén létezik egy legalább \(\displaystyle M\) cellából álló páratlanos régió.
Megjegyzés: Egy téglalap alakú régió oldalai párhuzamosak a négyzetrács oldalaival és tartalmazza a belsejét.
2. feladat. Adott egy pozitív egész \(\displaystyle n\). Mária a következő játékot játssza a táblán: kezdetben felírja az \(\displaystyle 1\)-et, majd minden lépésben választ egy \(\displaystyle 1\le j\le n\) egész számot és a táblán szereplő \(\displaystyle V\) számot lecseréli a \(\displaystyle j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)\) számra, ahol \(\displaystyle R(x)\) az \(\displaystyle x\)-hez legközelebbi egész számot jelöli. Ha az \(\displaystyle x\) éppen félúton van két szomszédos egész szám között, akkor felfelé kerekít. Például \(\displaystyle R(1,3)=1\) és \(\displaystyle R(1,5)=R(1,8)=2\).
(a) Bizonyítsd be, hogy minden adott \(\displaystyle n\)-re létezik olyan \(\displaystyle B\) pozitív egész szám, amelynél nagyobb számot Mária sohasem írhat fel a táblára.
(b) Egy \(\displaystyle n\) egész számra jelölje \(\displaystyle f(n)\) a legnagyobb számot, amelyet Mária a táblára véges sok lépés után felírhat. Bizonyítsd be, hogy létezik \(\displaystyle N\) pozitív egész, amelyre minden \(\displaystyle n\ge N\) esetén \(\displaystyle f(n)\) osztható \(\displaystyle 2026\)-tal.
3. feladat. Jelölje \(\displaystyle \mathbb{R}\) a valós számok halmazát. Határozd meg az összes \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számokra teljesül, hogy
\(\displaystyle f\left(\bigl(f(x)+f(y)\bigr)^2\right)=(x+y)f(x+y). \)
4. feladat. Legyen \(\displaystyle 1=a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots\) egy valós számokból álló végtelen számsor, amelyre minden \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén teljesül, hogy \(\displaystyle a_n = a_{2n}+a_{2n+1}\). Legyen \(\displaystyle r=2026^{2026}\). Bizonyítsd be, hogy
\(\displaystyle \dfrac1{r} \le a_{r} \le \dfrac{2}{r+1}. \)
5. feladat. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy hegyesszögű háromszög, amelyre \(\displaystyle AC>AB\). Jelölje \(\displaystyle ABC\) köréírt körét \(\displaystyle \omega\) és legyen \(\displaystyle \omega\) középpontja \(\displaystyle O\). Az \(\displaystyle \omega\)-hoz \(\displaystyle B\)-ben és \(\displaystyle C\)-ben húzott érintők \(\displaystyle K\)-ban metszik egymást. Legyen az \(\displaystyle ABK\) háromszög köréírt körének és a \(\displaystyle BC\) egyenesnek a második metszéspontja \(\displaystyle Z\). Jelöljük \(\displaystyle KZ\) felezőpontját \(\displaystyle L\)-lel. Legyen a \(\displaystyle KZ\) és \(\displaystyle AB\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle X\). Az \(\displaystyle O\)-ból \(\displaystyle KZ\)-re állított merőleges az \(\displaystyle ABL\) háromszög köréírt körét a \(\displaystyle BC\) egyenes \(\displaystyle A\)-felőli oldalán egyetlen pontban metszi. Legyen ez a pont \(\displaystyle V\). Bizonyítsd be, hogy \(\displaystyle LV\) merőleges \(\displaystyle CX\)-re.
6. feladat. Vegyünk egy \(\displaystyle p\) prímszámot és legyen \(\displaystyle n\) egy pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle p\) nem osztja \(\displaystyle n\)-et. Legyen az \(\displaystyle n\) pozitív osztóinak száma \(\displaystyle k\) és az osztókat jelöljük \(\displaystyle 1 = d_1<d_2<\dots<d_k = n\)-nel. Minden \(\displaystyle i = 1, 2, \dots, k\)-ra jelölje \(\displaystyle c_i\) a \(\displaystyle d_i^2\) olyan pozitív \(\displaystyle \ell\) osztóinak számát, amelyekre \(\displaystyle p\) osztja \(\displaystyle d_i-\ell\)-et. Bizonyítsd be, hogy
\(\displaystyle (p-1)\left(c_1+c_2+\cdots+c_k\right) \ge k^2. \)
Beszámoló a 2026. évi EGMO versenyről
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
