Szerk
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
(5 pont)
KVANT nyomán
I. megoldás. Induljunk ki a leképzési törvényből:
A lencse nagyítása – az optikai tengelyre merőleges nagyítás – (1) alapján:
\(\displaystyle N=\frac{K}{T}=\frac{k}{t}=\frac{f}{t-f}. \)
Az optikai tengellyel párhuzamos nagyítást az (1) kifejezésből deriválással kaphatjuk meg:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}=\frac{-f^2}{(t-f)^2}=-N^2. \)
A pályák optikai tengellyel bezárt szöge (meredeksége) az elmozduláskomponensekből fejezhető ki. A bogár esetében:
\(\displaystyle \tg\alpha=\left|\frac{\Delta y}{\Delta t}\right|, \)
a kép esetében
\(\displaystyle \tg\beta=\left|\frac{\Delta y'}{\Delta k}\right|. \)
Behelyettesítve a \(\displaystyle \Delta y'=N\Delta y\) és \(\displaystyle \Delta k=-N^2\Delta t\) kifejezéseket:
\(\displaystyle \tg\beta=\left|\frac{N\Delta y}{-N^2\Delta t}\right|=\left|\frac{1}{N}\right|\tg\alpha. \)
A nagyítás abszolút értéke a megadott szögekből:
\(\displaystyle |N|=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta}=\frac{\tg 60^\circ}{\tg 30^\circ}=3. \)
A tárgytávolság meghatározásához oldjuk meg az \(\displaystyle |N|=3\) egyenletet:
\(\displaystyle \left|\frac{f}{t-f}\right|=3. \)
I. eset (valódi, fordított állású kép):
II. eset (látszólagos, egyenesállású kép):
A szentjánosbogár tehát a lencsétől 20 cm vagy 40 cm távolságra keresztezte az optikai tengelyt.
Az Entrópiatagadók csapat: Budai Máté, Nacsa Domán (Gyula, Erkel F. Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. Két esetet különböztetünk meg. Ha a szentjánosbogár a fókusztávolságon kívül keresztezi az optikai tengelyt, akkor valódi képek jönnek létre. Azok a fénysugarak, amelyeket a bogár különböző pillanatokban a repülési irányába bocsát ki, ugyanott haladnak és a lencsén való irányváltozás után éppen a képpontok által kijelölt egyenessel esnek egybe (1. ábra).
1. ábra
Ha az irányváltozás helye az optikai tengelytől \(\displaystyle r\) távolságban van, akkor az \(\displaystyle ORT\) és \(\displaystyle OKR\) félszabályos háromszögekre alkalmazott Pitagorasz-tételből kapjuk, hogy
tehát \(\displaystyle k=3t\). Ebből a leképezési törvény alapján:
2. ábra
Ha \(\displaystyle t<f\), akkor a szentjánosbogár látszólagos (virtuális) képe jön létre a lencsének a bogár felé eső oldalán, a lencsétől \(\displaystyle |k|=-k\) távolságban \(\displaystyle (k<0)\), amikor a fényforrás éppen áthalad az optikai tengelyen.
Most is felírhatjuk a 2. ábrán látható két félszabályos háromszög oldalaira, hogy
tehát \(\displaystyle k=-3t\), amiből a leképezési törvény alapján
\(\displaystyle t_2=\frac{2}{3}f=20~\mathrm{cm}. \)
Megjegyzés. A leképezési hibáktól mentes képalkotásban csak az optikai tengellyel kis szöget bezáró fénysugarak vesznek részt. A fenti megoldásban szereplő sugarak nem ilyenek, csak a szemléletesség kedvéért használtuk őket. Ezek nem vesznek részt a valódi képalkotásban, csak egy segédegyenes szerepét töltik be.
21 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Hiányos (2–3 pont) 9, hibás 4 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
