Szerk
(5 pont)
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
Megoldás. a) Az üstökös parabolapályájának \(\displaystyle F\) fókuszában a Nap van, így az egybeesik a földpálya középpontjával.
1. ábra
Az 1. ábrán is látható, hogy a parabola \(\displaystyle v\) vezéregyenese a parabola definíciója szerint éppen érinti a Föld \(\displaystyle R\) sugarú körpályáját. (A parabola minden pontja ugyanakkora távolságra van az \(\displaystyle F\) fókusztól, mint a \(\displaystyle v\) vezéregyenestől.) A Naphoz legközelebbi pontja (perihéliuma) a parabola \(\displaystyle C\) csúcspontjában van, itt a Naptól mért távolsága (szintén a definíció szerint):
\(\displaystyle r_{\mathrm{p}}=\frac{R}{2}=75~\textrm{millió km}=7{,}5\cdot 10^{10}~\mathrm{m}. \)
Ekkor a sebessége megegyezik az ebben a pontban érvényes szökési sebességgel:
\(\displaystyle v_{\mathrm{p}}=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r_{\mathrm{p}}}}=\sqrt{\frac{4\gamma M}{R}}\approx 5{,}95\cdot 10^4~\mathrm{m}/\mathrm{s}=59{,}5~\mathrm{km}/\mathrm{s}. \)
(Itt \(\displaystyle \gamma=6{,}67\cdot 10^{-11}~\mathrm{Nm}^2/\mathrm{kg}^2\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M=1{,}99\cdot 10^{30}~\mathrm{kg}\) pedig a Nap tömege.)
Megjegyzés. A sebességre vonatkozó kifejezést az alapján is megkaphatjuk, hogy a parabolapálya miatt az \(\displaystyle m\) tömegű üstökös teljes mechanikai energiája nulla:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{\mathrm{p}}^2-\gamma\frac{mM}{r_{\mathrm{p}}}=0, \)
amiből a sebességre ugyanúgy a fenti kifejezést kapjuk.
b) Az üstökös Naphoz viszonyított perdülete állandó. Ezt felírva a \(\displaystyle C\) pontra és a Föld pályáját keresztező pontokra:
\(\displaystyle mr_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}=mRv_{\mathrm{F}}\cos\varphi, \)
ahol
\(\displaystyle v_{\mathrm{F}}=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}=\frac{v_{\mathrm{p}}}{\sqrt{2}}. \)
Ebből a keresett szög:
\(\displaystyle \varphi=\arccos\frac{r_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}}{Rv_{\mathrm{F}}}=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ. \)
Elekes Panni (Budapest-Fasori Evangélikus Gimn., 11. évf.)
Megjegyzés. A b) kérdésre optikai analógia segítségével is megadhatjuk a választ. A parabola (térben forgási paraboloid) tengelyével párhuzamosan érkező fénysugarak úgy verődnek vissza a parabolatükörről, hogy azok a fókuszponton mennek keresztül. A két pálya metszéspontjaiba érkező, a parabola tengelyével párhuzamos sugarak eltérülése \(\displaystyle 90^\circ\)-os, tehát a két pálya \(\displaystyle 45^\circ\)-ban metszi egymást.
2. ábra
38 dolgozat érkezett. Helyes 30 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 5, hiányos (1–3 pont) 3 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
