Szerk
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
\(\displaystyle mgh=W_{\mathrm{f}}+W_{\mathrm{k}}+W_{\mathrm{g}}. \)
A fékbetét kopása a feladat szerint egyenesen arányos a fék súrlódási munkájával (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), ezért azt kell megnéznünk, melyik esetben kisebb ez a munka. Átrendezve:
\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}=mgh-W_{\mathrm{k}}-W_{\mathrm{g}}. \)
Az \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia mindkét esetben ugyanakkora, hiszen ugyanazon a lejtőn, ugyanarról a magasságról indulunk. A gördülési ellenállás jó közelítéssel nem függ a sebességtől, csak az úthossztól, ezért a \(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\) is azonos a két esetben, hiszen ugyanazt az utat tesszük meg. A különbség tehát a légellenállás munkájában (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) van.
A légellenállás ereje a sebességgel nő, a biciklizés sebességtartományában a sebesség négyzetével arányosan, így minél gyorsabban haladunk, annál több munkát végez a közegellenállás. Ott, ahol nagy sebességre gyorsulunk, a légellenállás adott útszakaszon sokkal több energiát emészt fel, vagyis \(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\) nagy lesz. Ezért a féken kevesebb energia disszipálódik, \(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\) kisebb lesz, és így a fékbetét kevésbé kopik. Ha viszont végig lassan megyünk, a légellenállás sokkal kisebb lesz, alig fordítódik erre energia, így majdnem az egész \(\displaystyle mgh\) energiát a féknek kell ,,elnyelnie'', és a fékbetét jobban kopik.
A fékbetét tehát akkor kopik kevésbé, ha nagy sebességre gyorsulunk, és csak a lejtő végén fékezünk erősen.
Zsilák Márk Péter (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.)
27 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 1, hiányos (1 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
