Szerk
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
\(\displaystyle mgh=W_{\mathrm{f}}+W_{\mathrm{k}}+W_{\mathrm{g}}. \)
A fékbetét kopása a feladat szerint egyenesen arányos a fék súrlódási munkájával (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), ezért azt kell megnéznünk, melyik esetben kisebb ez a munka. Átrendezve:
\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}=mgh-W_{\mathrm{k}}-W_{\mathrm{g}}. \)
Az \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia mindkét esetben ugyanakkora, hiszen ugyanazon a lejtőn, ugyanarról a magasságról indulunk. A gördülési ellenállás jó közelítéssel nem függ a sebességtől, csak az úthossztól, ezért a \(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\) is azonos a két esetben, hiszen ugyanazt az utat tesszük meg. A különbség tehát a légellenállás munkájában (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) van.
A légellenállás ereje a sebességgel nő, a biciklizés sebességtartományában a sebesség négyzetével arányosan, így minél gyorsabban haladunk, annál több munkát végez a közegellenállás. Ott, ahol nagy sebességre gyorsulunk, a légellenállás adott útszakaszon sokkal több energiát emészt fel, vagyis \(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\) nagy lesz. Ezért a féken kevesebb energia disszipálódik, \(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\) kisebb lesz, és így a fékbetét kevésbé kopik. Ha viszont végig lassan megyünk, a légellenállás sokkal kisebb lesz, alig fordítódik erre energia, így majdnem az egész \(\displaystyle mgh\) energiát a féknek kell ,,elnyelnie'', és a fékbetét jobban kopik.
A fékbetét tehát akkor kopik kevésbé, ha nagy sebességre gyorsulunk, és csak a lejtő végén fékezünk erősen.
Zsilák Márk Péter (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.)
27 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 1, hiányos (1 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
