Szerk
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
(5 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
I. megoldás. Ha az asztalon lévő test gyorsulása \(\displaystyle a\), akkor a mozgócsiga és a rá akasztott test közös gyorsulása \(\displaystyle \frac{a}{2}\) (hiszen ha az asztalon lévő test \(\displaystyle x\) távolsággal mozdul el, akkor az állócsiga és a mennyezethez rögzített pont közti fonalhossz \(\displaystyle x\)-szel nő, és ez a mozgócsiga mindkét oldalán \(\displaystyle \frac{x}{2}\) növekedést jelent). Mivel a fonalak nem csúsznak meg, ezért \(\displaystyle r\) sugarú csigák esetén az állócsiga szöggyorsulása \(\displaystyle \frac{a}{r}\), a mozgócsigáé pedig \(\displaystyle \frac{a}{2r}\). Jelölje a testhez kötött fonalrészletben az erőt \(\displaystyle K_1\), a két csiga közötti fonalrészletben \(\displaystyle K_2\), a mennyezet és a mozgócsiga közötti fonalrészletben pedig \(\displaystyle K_3\) (1. ábra).
1. ábra
A dinamika alapegyenletét alkalmazzuk az asztalon mozgó testre és a függőlegesen mozgó testekre (mozgócsiga és a ráakasztott test együtt), a forgómozgás alapegyenletét pedig az álló- és a mozgócsigára (felhasználva, hogy a homogén korong tehetetlenségi nyomatéka \(\displaystyle \frac{1}{2}mr^2\)):
Az (1) egyenletből
\(\displaystyle K_1=m(a+\mu g). \)
Ezt a (3) egyenletbe beírva adódik, hogy
\(\displaystyle K_2=m\left(\frac{3}{2}a+\mu g\right), \)
majd ezt a (4) egyenletbe beírva pedig
\(\displaystyle K_3=m\left(\frac{7}{4}a+\mu g\right). \)
Ezeket a (2) egyenletbe behelyettesítve:
\(\displaystyle \left(3g-\frac{3}{2}a-\mu g-\frac{7}{4}a-\mu g\right)m=\frac{3}{2}ma, \)
amiből \(\displaystyle \mu=0{,}5\) értékét felhasználva
\(\displaystyle a=\frac{8}{19}g. \)
Ebből
A mennyezet által a csigára ható erő vízszintes és függőleges komponense:
Ebből a keresett erő nagysága:
\(\displaystyle F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\approx 2{,}32\,mg, \)
a függőlegessel bezárt szöge pedig:
\(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{F_x}{F_y}=\arctg\frac{35}{81}\approx 23{,}4^\circ. \)
Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
II. megoldás. A testek gyorsulását a munkatétellel is meghatározhatjuk. Az elengedés után \(\displaystyle t\) idővel az asztalon mozgó test elmozdulása és sebessége, valamint az állócsiga szögsebessége:
\(\displaystyle s=\frac{1}{2}at^2,\qquad v=at,\qquad \frac{v}{r}=\frac{a}{r}t. \)
A függőlegesen mozgó test elmozdulása és sebessége, illetve a mozgócsiga szögsebessége az I. megoldás gondolatmenete alapján ezen értékek fele (2. ábrán).
2. ábra
A munkatétel alapján a súrlódási erő \(\displaystyle S=\mu mg\) és a tehetetlenségi nyomaték \(\displaystyle \frac{1}{2}mr^2\) kifejezését, valamint \(\displaystyle \mu=0{,}5\) értékét is felhasználva az asztalon csúszó test gyorsulása:
az előző megoldással összhangban. Innentől a megoldás megegyezik az I. megoldással.
34 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 12, hiányos (1–2 pont) 10, hibás 2, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
